Question

如圖，已知∠ABC=90°，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F．
（1）若等邊△ABE和△APQ的邊長(zhǎng)分別為6和10，求線段EQ的長(zhǎng)度；
（2）猜想EF與圖中哪條線段相等（不能添加輔助線產(chǎn)生新的線段），并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠QAE，根據(jù)SAS推出△ABP≌△AEQ，推出EQ=BP即可；
（2）根據(jù)全等求出∠AEQ=90°，求出∠BEF=∠FBE=30°，即可得出答案．

解答：（1）解：∵△ABE和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠QAE=60°-∠PAE，
在△ABP和△AEQ中，

AB=AE ∠BAP=∠EAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△AEQ（SAS），
∴EQ=BP，
在Rt△ABP中，AB=6，AP=10，由勾股定理得：BP=8，
即EQ=8．

（2）解：EF=BF，
理由是：由△AEQ≌△ABP得∠AEQ=∠ABE=90°，
∵∠AEB=60°，
∴∠BEF=30°，
又∵∠EBF=∠ABP-∠ABE=90°-60°=30°，
∴∠EBF=∠FEB，
∴EF=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，題目比較好，難度偏大．