Question

11．如圖，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD為直徑作圓O，過點(diǎn)D作DE∥AB交圓O于點(diǎn)E
（1）證明點(diǎn)C在圓O上；
（2）求tan∠CDE的值；
（3）求圓心O到弦ED的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連結(jié)CO．先由勾股定理求出AC=10，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，∠C=90°，那么OC為Rt△ACD斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=$\frac{1}{2}$AD=r，即點(diǎn)C在圓O上；
（2）如圖2，延長(zhǎng)BC、DE交于點(diǎn)F，∠BFD=90°．根據(jù)同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，利用正切函數(shù)定義求出tan∠ACB=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，則tan∠CDE=tan∠ACB=$\frac{3}{4}$；
（3）如圖3，連結(jié)AE，作OG⊥ED于點(diǎn)G，則OG∥AE，且OG=$\frac{1}{2}$AE．易證△ABC∽△CFD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CF=$\frac{72}{5}$，那么BF=BC+CF=$\frac{112}{5}$．再證明四邊形ABFE是矩形，得出AE=BF=$\frac{112}{5}$，所以O(shè)G=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{56}{5}$．

解答 （1）證明：如圖1，連結(jié)CO．
∵AB=6，BC=8，∠B=90°，
∴AC=10．
又∵CD=24，AD=26，10²+24²=26²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°．
∵AD為⊙O的直徑，
∴AO=OD，OC為Rt△ACD斜邊上的中線，
∴OC=$\frac{1}{2}$AD=r，
∴點(diǎn)C在圓O上；

（2）解：如圖2，延長(zhǎng)BC、DE交于點(diǎn)F，∠BFD=90°．
∵∠BFD=90°，
∴∠CDE+∠FCD=90°，
又∵∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠FCD=90°，
∴∠CDE=∠ACB．
在Rt△ABC中，tan∠ACB=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠CDE=tan∠ACB=$\frac{3}{4}$；

（3）解：如圖3，連結(jié)AE，作OG⊥ED于點(diǎn)G，則OG∥AE，且OG=$\frac{1}{2}$AE．
易證△ABC∽△CFD，
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{6}{CF}$=$\frac{10}{24}$，
∴CF=$\frac{72}{5}$，
∴BF=BC+CF=8+$\frac{72}{5}$=$\frac{112}{5}$．
∵∠B=∠F=∠AED=90°，
∴四邊形ABFE是矩形，
∴AE=BF=$\frac{112}{5}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{56}{5}$，
即圓心O到弦ED的距離為$\frac{56}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題，考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．