Question

【題目】如圖，垂直平分線段（），點(diǎn) 是線段 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連接，過(guò)點(diǎn)作 于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線與點(diǎn).

（1）若 ，則______（用的代數(shù)式表示）；

（2）線段與線段相等嗎？為什么？

（3）若，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）45°-α；（2）相等，理由見(jiàn)解析；（3）3

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠AEB=45°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

（2）連接AD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC=AD，求得∠ADC=∠ACB=α，于是得到AC=DF；

（3）根據(jù)已知條件得到BD=CB=3，過(guò)F作FH⊥CE交CE的延長(zhǎng)線于H，得到△EHF是等腰直角三角形，求得FH=HE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）∵AB⊥CD，

∴∠ABE=90°，

∵AB=BE，

∴∠BAE=∠AEB=45°，

∵∠CAB=α，∠CDG=90°-（90°-α）=α=∠EDF．

∴∠AFG=∠AED-∠EDF=45°-α；

故答案為：45°-α；

（2）相等，

證明：連接AD，

∵AB垂直平分線段CD，

∴AC=AD，

∴∠ADC=∠ACB=90°-α，

∴∠DAE=∠ADC-45°=45°-α，

∴∠DAE=∠AFD，

∴AD=DF，

∴AC=DF；

（3）∵CD=6，

∴BD=CB=3，

過(guò)F作FH⊥CE交CE的延長(zhǎng)線于H，

則△EHF是等腰直角三角形，

∴FH=HE，

∵∠H=∠ABC=90°，∠CAB=∠CDG=∠FDH，AC=AD=DF，

∴△ACB≌△DFH（AAS），

∴FH=CB=3，

∴EF=FH=3．