【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線x軸交于AB兩點(點A在點B的左側(cè)),交y軸的正半軸于點C,其頂點為M,MHx軸于點HMAy軸于點N,sinMOH

1)求此拋物線的函數(shù)表達式;

2)過H的直線與y軸相交于點P,過O,M兩點作直線PH的垂線,垂足分別為E,F,若 時,求點P的坐標;

3)將(1)中的拋物線沿y軸折疊,使點A落在點D處,連接MD,Q為(1)中的拋物線上的一動點,直線NQx軸于點G,當Q點在拋物線上運動時,是否存在點Q,使ANG ADM相似?若存在,求出所有符合條件的直線QG的解析式;若不存在,請說明理由。

【答案】1 y=- x-22+4.(2 P0,2),P0-2.(3 y=4x+y=-

【解析】

試題分析:(1)由拋物線x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),交y軸的正半軸于點C,其頂點為MMHx軸于點H,MAy軸于點N,sinMOH=,求出c的值,進而求出拋物線方程;

2)如圖1,由OEPHMFPH,MHOH,可證OEH∽△HFM,可知HEHF的比例關(guān)系,求出P點坐標;

3)首先求出D點坐標,寫出直線MD的表達式,由兩直線平行,兩三角形相似,可得NGMD,直線QG解析式

試題解析:1M為拋物線的頂點,

M2c

OH=2,MH=|c|

a0,且拋物線與x軸有交點,

c0,

MH=c,

sinMOH=,

OM=c,

OM2=OH2+MH2

MH=c=4,

M2,4),

拋物線的函數(shù)表達式為:y=-x-22+4

2)如圖1,OEPHMFPH,MHOH

∴∠EHO=FMH,OEH=HFM

∴△OEH∽△HFM,

,

,

MF=HF,

∴∠OHP=FHM=45°,

OP=OH=2,

P0,2

如圖2,同理可得,P0,-2

3A-1,0),

D1,0),

M2,4),D1,0),

直線MD解析式:y=4x-4,

ONMH∴△AON∽△AHM,

AN=,ON=N0,

如圖3,若ANG∽△AMD,可得NGMD,

直線QG解析式:y=4x+

如圖4,若ANG∽△ADM,可得

AG=,

G0),

QGy=-,

綜上所述,符合條件的所有直線QG的解析式為:y=4x+y=-

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