Question

當(dāng)m，n是正實(shí)數(shù)，且滿足m+n=mn時(shí)，就稱點(diǎn)P（m，

m

n

）為“完美點(diǎn)”，已知點(diǎn)A（0，5）與點(diǎn)M都在直線y=-x+b上，點(diǎn)B，C是“完美點(diǎn)”，且點(diǎn)B在線段AM上，若MC=

3

，AM=4

2

，求△MBC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,直角三角形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用

專題：新定義

分析：由m+n=mn變式為

m

n

=m-1，可知P（m，m-1），所以在直線y=x-1上，點(diǎn)A（0，5）在直線y=-x+b上，求得直線AM：y=-x+5，進(jìn)而求得B（3，2），根據(jù)直線平行的性質(zhì)從而證得直線AM與直線y=x-1垂直，然后根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，從而求得三角形的面積．

解答：解：∵m+n=mn且m，n是正實(shí)數(shù)，
∴

m

n

+1=m，即

m

n

=m-1，
∴P（m，m-1），
即“完美點(diǎn)”B在直線y=x-1上，
∵點(diǎn)A（0，5）在直線y=-x+b上，
∴b=5，
∴直線AM：y=-x+5，
∵“完美點(diǎn)”B在直線AM上，
∴由

y=x-1 y=-x+5

解得

x=3 y=2

，
∴B（3，2），
∵一、三象限的角平分線y=x垂直于二、四象限的角平分線y=-x，而直線y=x-1與直線y=x平行，直線y=-x+5與直線y=-x平行，
∴直線AM與直線y=x-1垂直，
∵點(diǎn)B是直線y=x-1與直線AM的交點(diǎn)，
∴垂足是點(diǎn)B，
∵點(diǎn)C是“完美點(diǎn)”，
∴點(diǎn)C在直線y=x-1上，
∴△MBC是直角三角形，
∵B（3，2），A（0，5），
∴AB=3

2

，
∵AM=4

2

，
∴BM=

2

，
又∵CM=

3

，
∴BC=1，
∴S_△MBC=

1

2

BM•BC=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積的計(jì)算等，判斷直線垂直，借助正比例函數(shù)是本題的關(guān)鍵．