Question

如圖：以△ABC中的AB、AC為邊分別向外作正方形ADEB、ACGF，連接DC、BF
（1）觀察圖形，利用旋轉的觀點說明：△ADC繞著點

 

旋轉

 

°得到△ABF；
（2）猜想：CD與BF有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？并證明你的猜想．（相關知識鏈接：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：（1）因為AD=AB，AC=AF，∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，故△ABF可看作△ADC繞A點逆時針旋轉90°得到；
（2）要求兩條線段的長度關系，把兩條線段放到兩個三角形中，利用三角形的全等求得兩條線段相等；根據(jù)全等三角形的對應角相等以及直角三角形的兩銳角互補，即可證得∠NMC=90°，可證得證BF⊥CD．

解答：解：（1）根據(jù)正方形的性質可得：AD=AB，AC=AF，
∠DAB=∠CAF=90°，
∴∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，
∴△DAC≌△BAF（SAS），
故△ADC可看作△ABF繞A點逆時針旋轉90°得到．
故答案為：A逆時針，90°；

（2）DC=BF，DC⊥BF．
理由：在正方形ABDE中，AD=AB，∠DAB=90°，
又在正方形ACGF，AF=AC，∠FAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC=90°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，
∠FAB=∠FAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠FAB，
在△DAC和△FAB中

AD=AB ∠DAC=∠BAF AC=AF

∴△DAC≌△FAB（SAS），
∴DC=FB，∠AFN=∠ACD，
又∵在直角△ANF中，∠AFN+∠ANF=90°，∠ANF=∠CNM，
∴∠ACD+∠CNM=90°，
∴∠NMC=90°
∴BF⊥CD，
即CD與BF的數(shù)量關系是BF=CD和位置關系是BF⊥CD．

點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質及三角形全等的性質，關鍵是根據(jù)圖形中兩個三角形的位置關系解題．