Question

已知正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，CE=1，線段MN在對角線AC上．MN=

2

，連BM，EN．

（1）如圖1，當點N是AC的中點時，求BM+EN的值；
（2）如圖2，當點M是AC的中點時，求BM+EN的值；
（3）當線段MN在對角線AC上運動時，BM+EN的最小值為

 

．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接BN，過N作NH垂直于BC，根據(jù)正方形ABCD得到三角形ANB與三角形BHN都為等腰直角三角形，求出BN與NH的長，在直角三角形BNM中，利用勾股定理求出BM的長，在直角三角形NHE中，利用勾股定理求出EN的長，即可確定出BM+EN的長；
（2）由正方形ABCD，M為AC的中點，求出BM，AM，CM的長，根據(jù)CM-MN求出CN的長，若過N作NE′⊥BC于點E′，則得到NE′=CE′=1，即E′與E重合，此時NE=NE′=1，即可確定出BM+EN的長；
（3）ME+EN的最小值為

13

，理由為：作出點E關于AC的對稱點E′，則CE′=CE=1，將MN平移至E′F處，則四邊形MNE′F為平行四邊形，連接BF，EF，過F作FG⊥CD于G，可得△E′FG為等腰直角三角形，進而得到E′F=MN，F(xiàn)G=E′G，即四邊形EFGC為矩形，求出EF與BE長，利用勾股定理求出BF的長，在三角形BMF中，利用兩邊之和大于第三邊求出BM+EN的最小值即可．

解答：解：（1）連接BN，過N作NH⊥BC于H，如圖1所示，

∵正方形ABCD，N為AC中點，
∴△ANB與△BHN都為等腰直角三角形，
∴AN=BN=

2

2

AB=2

2

，NH=CH=

2

2

BN=2，
在Rt△BNM中，由勾股定理得：BM=

BN2+MN2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

，
在Rt△NHE中，NH=2，HE=2-1=1，EN=

NH2+HE2

=

5

，
則BM+EN=

10

+

5

；
（2）∵正方形ABCD，M為AC中點，
∴BM=AM=CM=2

2

，
∵MN=

2

，
∴CN=CM-MN=

2

，
若過N作NE′⊥BC于點E′，如圖2所示，則得到NE′=CE′=1，

∴E′與E重合，且NE=NE′=1，
∴BM+EN=2

2

+1；
（3）ME+EN的最小值為

13

，理由為：
如圖3所示，作出點E關于AC的對稱點E′，則CE′=CE=1，
將MN平移至E′F處，則四邊形MNE′F為平行四邊形，
連接BF，EF，過F作FG⊥CD于G，可得△E′FG為等腰直角三角形，

∴E′F=MN=

2

，F(xiàn)G=E′G=1=CE，
∴四邊形CEFG為矩形，
∴EF=CG=2，BE=BC-CE=3，
∴BF=

BE2+EF2

=

13

，
顯然，BM+EN=BM+E′N=BM+FM≥BF=

13

．

點評：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：正方形的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，平移的性質，平行四邊形的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．