Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(﹣2，﹣4)，直線x=﹣2與x軸相交于點(diǎn)B，連接OA，拋物線y=﹣x2從點(diǎn)O沿OA方向平移，與直線x=﹣2交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到點(diǎn)A時(shí)停止移動(dòng)．

（1）線段OA所在直線的函數(shù)解析式是　 ；

（2）設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，問(wèn)：當(dāng)m為何值時(shí)，線段PA最長(zhǎng)？并求出此時(shí)PA的長(zhǎng)．

（3）若平移后拋物線交y軸于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)Q使得△OMQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x；（2）當(dāng)m=1時(shí)，PA的值最大，PA的最大值為1；（3）存在，(0，5﹣2)或(0，﹣8)

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求直線OA的解析式；

（2）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，2m），（﹣2≤m＜0），利用頂點(diǎn)式寫(xiě)出平移后拋物線解析式為y=﹣（x﹣m）2+2m，則 P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），所以PA=﹣m2﹣2m，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；

（3）先確定OQ=m2﹣2m，OM=﹣m，再討論：當(dāng)OM=OQ，即﹣m=m2﹣2m，然后解方程求出m即可得到此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如圖1，利用OH=QH得到﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），然后解方程求出m即可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)QM=QO，作QF⊥OM于F，如圖2，則OF=MF=﹣m，證明Rt△OFQ∽Rt△ABO，利用相似比得到，解得m不滿足條件舍去．

解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，

把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，

所以直線OA的解析式為y=2x；

故答案為y=2x；

（2）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，2m），（﹣2≤m＜0），

∴平移后拋物線解析式為y=﹣（x﹣m）2+2m，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），

∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1

∴當(dāng)m=1時(shí)，PA的值最大，PA的最大值為1；

（3）存在，理由如下：

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，則Q（0，﹣m2+2m），

∵OQ=m2﹣2m，OM=﹣m，

當(dāng)OM=OQ，即﹣m=m2﹣2m，即m2﹣（2﹣）m=0，解得m1=0（舍去），m2=2﹣，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5﹣2）；

當(dāng)OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如圖1，則OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣8）；

當(dāng)QM=QO，作QF⊥OM于F，如圖2，則OF=MF=﹣m，

∵OQ∥AB，

∴∠QOF=∠BAO，

∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，

∴，即，整理得4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2=（舍去），

綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5﹣2）或（0，﹣8）．