Question

【題目】如圖，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC=2，點(diǎn) P 在以斜邊 AB 為直徑的半圓上，M 為 PC 的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn) P 沿半圓從點(diǎn)A 運(yùn)動至點(diǎn) B 時，點(diǎn) M 運(yùn)動的路徑長是_____．

Answer 1

【答案】π

【解析】

取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BC=2，則OC=AB=，OP=AB=，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OM⊥PC，則∠CMO=90°，于是根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)M在以OC為直徑的圓上，由于點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時，M點(diǎn)在F點(diǎn)，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=，所以M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據(jù)圓的周長公式計算點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長．

解：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，

∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴AB=BC=2，

∴OC=AB=，OP=AB=，

∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，

∴OM⊥PC，

∴∠CMO=90°，

∴點(diǎn)M在以OC為直徑的圓上，

點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時，M點(diǎn)在F點(diǎn)，易得四邊形CEOF為正方形，EF=OC=，

∴M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，

∴點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長=2π=π．

故答案為π．