【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P為對(duì)角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長線上,且PA=PE,PE交CD于F,連接CE.
(1)求證:△PCE是等腰直角三角形;
(2)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時(shí),判斷△PCE的形狀,并說明理由.
【答案】
(1)
證明:如圖1中,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,∠ADC=90°,
在△PDA和△PDC中,
,
∴△PDA≌△PDC,
∴PA=PC,∠3=∠1,
∵PA=PE,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,
∵∠EDF=90°,∠DFE=∠PFC,
∴∠FPC=EDF=90°,
∴△PEC是等腰直角三角形
(2)
解:如圖2中,結(jié)論:△PCE是等邊三角形.
理由:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=DC,∠ADB=∠CDB,∠ADC=∠ABC=120°,
在△PDA和△PDC中,
,
∴△PDA≌△PDC,
∴PA=PC,∠3=∠1,
∵PA=PE,
∴∠2=∠3,PA═PE=PC,
∴∠1=∠2,
∵∠DFE=∠PFC,
∴∠EPC=∠EDC,
∵∠ADC=120°,
∴∠EDC=60°,
∴∠EPC=60°,∵PE=PC,
∴△PEC是等邊三角形
【解析】(1)由△PDA≌△PDC,推出PA=PC,∠3=∠1,由PA=PE,推出∠2=∠3,推出∠1=∠2,由∠EDF=90°,∠DFE=∠PFC,推出∠FPC=EDF=90°,推出△PEC是等腰直角三角形;(2)由△PDA≌△PDC,推出PA=PC,∠3=∠1,由PA=PE,推出∠2=∠3,PA═PE=PC,推出∠1=∠2,由∠DFE=∠PFC,推出∠EPC=∠EDC,由∠ADC=120°,推出∠EDC=60°,推出∠EPC=60°,由PE=PC,即可證明△PEC是等邊三角形;
【考點(diǎn)精析】掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角).
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【題目】某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元,調(diào)查表明:在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元(20≤x≤30,且x為整數(shù))出售,可賣出(30﹣x)件.若使利潤最大,每件的售價(jià)應(yīng)為元.
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【題目】如圖所示,O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn),作DE∥AC,CE∥BD,DE、CE相交于點(diǎn)E.求證:
(1)四邊形OCED是菱形.
(2)連接OE,若AD=4,CD=3,求菱形OCED的周長和面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的斜邊AB在x軸上,AB=25,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上,AO:OC=3:4,點(diǎn)P在線段OC上,且PO、PC的長(PO<PC)是關(guān)于x的方程x2-12x+32=O的兩根.
(1) 求P點(diǎn)坐標(biāo)求
(2) 求AC、BC的長;
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在,請(qǐng)直接寫出直線PQ的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】某校為了了解九年級(jí)學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)情況,以九年級(jí)(1)班學(xué)生的體育測(cè)試成績(jī)?yōu)闃颖,按A、B、C、D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(如圖),請(qǐng)你結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:(說明:A級(jí):90分—100分;B級(jí):75分—89分;C級(jí):60分—74分;D級(jí):60分以下)
(1)D級(jí)學(xué)生的人數(shù)占全班人數(shù)的百分比為 ;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中C級(jí)所在扇形圓心角度數(shù)為 ;
(3)該班學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)落在等級(jí) 內(nèi);
(4)若該校九年級(jí)學(xué)生共有500人,請(qǐng)你估計(jì)這次考試中A級(jí)和B級(jí)的學(xué)生共有多少人?
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