【題目】如圖,△OAP是等腰直角三角形,∠OAP=90°,點A在第四象限,點P坐標為(8,0),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點O和A、P兩點.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式.
(2)點B是y軸正半軸上一點,連接AB,過點B作AB的垂線交拋物線于C、D兩點,且BC=AB,求點B坐標;
(3)在(2)的條件下,點M是線段BC上一點,過點M作x軸的垂線交拋物線于點N,求△CBN面積的最大值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)先根據(jù)是等腰直角三角形,和點P的坐標求出點A的坐標,再利用待定系數(shù)法即可求得;
(2)設(shè)點,如圖(見解析),過點C作CH垂直y軸于點H,過點A作AQ垂直y軸于點Q,易證明,可得,則點C坐標為,將其代入題(1)中的拋物線函數(shù)關(guān)系式即可得;
(3)如圖,延長NM交CH于點E,則,先通過點B、C求出直線BC的函數(shù)關(guān)系式,因點N在拋物線上,則設(shè),則可得點M的坐標,再根據(jù)三角形的面積公式列出等式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.
(1)是等腰直角三角形,,點P坐標為
則點A的坐標為
將點O、A、B三點坐標代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式得:
,解得:
故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:;
(2)設(shè)點,過點C作CH垂直y軸于點H,過點A作AQ垂直y軸于點Q,
又
故點C的坐標為
將點C的坐標代入題(1)的拋物線函數(shù)關(guān)系式得:
,解得:
故點B的坐標為;
(3)如圖,延長NM交CH于點E,則
設(shè)直線BC的解析式為:,將點,點代入得:
解得:
則直線BC的解析式為:
因點N在拋物線上,設(shè),則點M的坐標為
的面積
即
整理得:
又因點M是線段BC上一點,則
由二次函數(shù)的性質(zhì)得:當時,y隨x的增大而增大;當時,y隨x的增大而減小
故當時,取得最大值.
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【題目】(本題滿分12分)已知二次函數(shù)的圖象如圖.
(1)求它的對稱軸與軸交點D的坐標;
(2)將該拋物線沿它的對稱軸向上平移,設(shè)平移后的拋物線與軸,軸的交點分別為A、B、C三點,若∠ACB=90°,求此時拋物線的解析式;
(3)設(shè)(2)中平移后的拋物線的頂點為M,以AB為直徑,D為圓心作⊙D,試判斷直線CM與⊙D的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】小明家的門框上裝有一把防盜門鎖(如圖1).其平面結(jié)構(gòu)圖如圖2所示,鎖身可以看成由兩條等弧AD,弧BC和矩形ABCD組成,弧BC的圓心是倒鎖按鈕點M.已知弧AD的弓形高GH=2cm,AD=8cm,EP=11cm.當鎖柄PN繞著點N旋轉(zhuǎn)至NQ位置時,門鎖打開,此時直線PQ與弧BC所在的圓相切,且PQ∥DN,tan∠NQP=2.
(1)弧BC所在圓的半徑為_____cm.
(2)線段AB的長度約為_____cm.(≈2.236,結(jié)果精確到0.1cm)
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【題目】某校體育組為了解全校學生“最喜歡的一項球類項目”,隨機抽取了部分學生進行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題:
(1)請補全條形統(tǒng)計圖(圖2);
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,“籃球”部分所對應的圓心角是____________度?
(3)籃球教練在制定訓練計劃前,將從最喜歡籃球項目的甲、乙、丙、丁四名同學中任選兩人進行個別座談,請用列表法或樹狀圖法求抽取的兩人恰好是甲和乙的概率.
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【題目】如圖,已知OP平分∠AOB,CP∥OA,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E.CP=,PD=6.如果點M是OP的中點,則DM的長是_____.
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【題目】一只不透明的袋子中,裝有2個白球,1個紅球,1個黃球,這些球除顏色外都相同.請用列表法或畫樹形圖法求下列事件的概率:
(1)攪勻后從中任意摸出1個球,恰好是白球.
(2)攪勻后從中任意摸出2個球,2個都是白球.
(3)再放入幾個除顏色外都相同的黑球,攪勻后從中任意摸出1個球,恰好是黑球的概率為,求放入了幾個黑球?
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【題目】A、B、C三人玩籃球傳球游戲,游戲規(guī)則是:第一次傳球由A將球隨機地傳給B,C兩人中的某一人,以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機地傳給其他兩人中的某一人.
(1)求兩次傳球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次傳球后,球恰在A手中的概率.
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【題目】某公司生產(chǎn)的一種商品其售價是成本的1.5倍,當售價降低5元時商品的利潤率為25%.若不進行任何推廣年銷售量為1萬件.為了獲得更好的利益,公司準備拿出一定的資金做推廣,根據(jù)經(jīng)驗,每年投入的推廣費x萬元時銷售量y(萬件)是x的二次函數(shù):當x為1萬元時,y是1.5(萬件).當x為2萬元時,y是1.8(萬件).
(1)求該商品每件的的成本與售價分別是多少元?
(2)求出年利潤與年推廣費x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如果投入的年推廣告費為1萬到3萬元(包括1萬和3萬元),問推廣費在什么范同內(nèi),公司獲得的年利潤隨推廣費的增大而增大?
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【題目】如圖,已知點A(3,0),以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點,與x軸的另一個交點為B,過B作⊙A的切線l.
(1)以直線l為對稱軸的拋物線過點A及點C(0,9),求此拋物線的解析式;
(2)拋物線與x軸的另一個交點為D,過D作⊙A的切線DE,E為切點,求此切線長;
(3)點F是切線DE上的一個動點,當△BFD與△EAD相似時,求出BF的長.
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