Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱(chēng)點(diǎn)P為完美點(diǎn)．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣3，最大值為1，則m的取值范圍是（　�。�

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)完美點(diǎn)的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由題意方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求得4ac=9，再根據(jù)方程的根為=，從而求得a=-1，c=-，所以函數(shù)y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．

解：令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，
由題意，△=32-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根為=，
解得a=-1，c=-，
故函數(shù)y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，
如圖，該函數(shù)圖象頂點(diǎn)為（2，1），與y軸交點(diǎn)為（0，-3），由對(duì)稱(chēng)性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，-3）．

由于函數(shù)圖象在對(duì)稱(chēng)軸x=2左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)y隨x的增大而減小，且當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)y=-x2+4x-3的最小值為-3，最大值為1，
∴2≤m≤4，
故選：C．