Question

1．如圖，△ABC中，∠A=60°，在AC上截取AD=AB，E為AB上一點，且BE=CD，過點E作BD的垂線，分別交BD、BC于F、G，連接EC交BD于H．
（1）若E為AB的中點，BD=4，求EF的長；
（2）求證：FH=DH+$\frac{1}{2}$BE．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABC為等邊三角形，得到AB=BD=4，進而求得BE=2，在Rt△EBF中，∠EBF=60°，得到∠BEF=30°，求出BF=$\frac{1}{2}$BE=1．再利用勾股定理即可解答；
（2）取FM=BF，由EF⊥BM，BF=FM，知BE=EM=CD，再證明△EMH≌△CDH，得到DH=HM，從而FH=FM+MH=BF+DH=$\frac{1}{2}$BE+DH．

解答 解：（1）∵∠A=60°，AD=AB，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=BD=4，
∵E為AB的中點，
∴BE=2，
在Rt△EBF中，∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=1．
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}-B{F}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
（2）如圖，取FM=BF，由EF⊥BM，BF=FM，知BE=EM=CD，

又∵∠BEF=∠FEM=30°，
∴∠BEM=∠A=60°，
∴EM∥AC，
∴∠MEH=∠HCD，∠EHM=∠CHD，
在△EMH和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MEH=∠HCD}\\{EM=CD}\\{∠EHM=∠CHD}\end{array}\right.$
∴△EMH≌△CDH，
∴DH=HM，
∴FH=FM+MH=BF+DH=$\frac{1}{2}$BE+DH．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關鍵是作出輔助線，構建全等三角形．