Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（4，0），C（8，0），D（8，8），拋物線y=ax²+bx過A，C兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式．
（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△AGC的面積最大？最大值為多少？
（3）連接EQ，在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得以C，E，Q為頂點(diǎn)的△CEQ為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的t值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于四邊形ABCD為矩形，所以A點(diǎn)與D點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，A點(diǎn)與B點(diǎn)橫坐標(biāo)相同；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PE、PB的長(zhǎng)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得GE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）若構(gòu)成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三種情況討論．若有兩種情況時(shí)間相同，則三邊長(zhǎng)度相同，為等腰三角形．

解答 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為8，AD∥x軸，AB∥y軸，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）．
將A（4，8）、C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=8}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x；
（2）∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，$\frac{PE}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{PE}{4}$=$\frac{AP}{8}$，PE=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t，PB=8-t，
E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），G點(diǎn)的坐標(biāo)為（4+$\frac{1}{2}$t，-$\frac{1}{8}$t²+8），
GE=（-$\frac{1}{8}$t²+8）-（8-t）=-$\frac{1}{8}$t²+t，
S_△AGC=$\frac{1}{2}$GE•（x_C-x_A）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{8}$t²+t）（8-4）=-$\frac{1}{4}$（t-4）²+4，
當(dāng)t=4時(shí)，△AGC的面積最大，最大值為4；
（3）①當(dāng)EQ=QC時(shí)，∵Q（8，t），E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），QC=t，
所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得：
（$\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²=t²．
整理得13t²-144t+320=0，
解得t=$\frac{40}{13}$或t=$\frac{104}{13}$=8（此時(shí)E、C重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）．
②當(dāng)EC=CQ時(shí)，
因?yàn)镋（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得：
（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²=t²．
整理得t²-80t+320=0，t=40-16$\sqrt{5}$，t=40+16$\sqrt{5}$＞8（此時(shí)Q不在矩形的邊上，舍去）．
③當(dāng)EQ=EC時(shí)，
因?yàn)镼（8，t），E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），C（8，0），
所以根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得：（$\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²=（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²，
解得t=0（此時(shí)Q、C重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）或t=$\frac{16}{3}$．
于是t₁=$\frac{16}{3}$，t₂=$\frac{40}{13}$，t₃=40-16$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，拋物線的求法是函數(shù)解析式中的一種，通常情況下用待定系數(shù)法，即先列方程組，再求未知系數(shù)，這種方法本題比較適合．對(duì)于壓軸題中的動(dòng)點(diǎn)問題、極值問題，先根據(jù)條件“以靜制動(dòng)”，用未知系數(shù)表示各自的坐標(biāo)，如果能構(gòu)成二次函數(shù)，即可通過配方或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求其極值．