【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AC為對角線,延長CD至點E使CE=CA,連接AE。F為AB上一點,且BF=DE,連接FC.

(1)若DE=1,CF=2,求CD的長。

(2)如圖2,點G為線段AE的中點,連接BG交AC于H,若∠BHC+∠ABG=600,求證:AF+CE=AC.

【答案】(1)3;(2)見解析.

【解析】分析:(1)先證明△ADE≌△CBF,可得AE=CF= ,設(shè)CD=x,則CE=AC=x+1 ,在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理列方程求解;

(2)延長BGCD的延長線于點M,先證明ABGEMG,從而可得CE+AF= 2CD,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可求M=∠MCG=∠ACG=∠ABG=15°,從而ACD=30,cos∠ACD=,進而可證明結(jié)論.

詳解:(1)解:矩形ABCD ,

AD=BC,∠ADC=∠ABC=90 .

∠ADE+∠ADC=180 ,

∠ADC=90

∴∠ADC=∠ABC .

∵BF=DE ,

△ADE≌△CBF ,

AE=CF= ,

在Rt△ABC中,

AD= ,

設(shè)CD=x,則CE=AC=x+1 ,

,

解得: ,

即:

(2)證明:延長BG交CD的延長線于點M

易證△ABG≌EMG,

GM=GB,AB=CD,∠ABG=∠M,

又BF=ED,

∴AF=ME.

∴CE+AF=CE+ME=2CD,

連接CG, 在Rt△MCB,

CG=MG,

∠M=∠MCG.

又CA=CE,且點G是AE的中點,

∠MCG=∠ACG,

又∠BHC=∠M+∠MCG+∠ACG, ∠BHC+∠ABG=60,

∴∠M=∠MCG=∠ACG=∠ABG=15

ACD=30

∵cos∠ACD=,

,

∴AF+CE=AC.

練習冊系列答案
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1)求證:AC=BC

2)如圖2,點C的坐標為(4,0),點EAC上一點,且∠DEA=DBO,求BC+EC的長;

3)如圖3,過DDFACF點,點HFC上一動點,點GOC上一動點,當HFC上移動、點GOC上移動時,始終滿足∠GDH=GDO+FDH,試判斷FH、GHOG這三者之間的數(shù)量關(guān)系,寫出你的結(jié)論并加以證明.

(圖3

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A.3:4
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D.2

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