Question

已知關(guān)于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若方程mx²+（3m+1）x+3=0有兩個(gè)不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：證明題

分析：（1）分類討論：當(dāng)m=0時(shí)，方程變形一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)m≠0時(shí)，方程為一元二次方程，再進(jìn)行判別式得到△=（3m-1）²，易得△≥0，故判別式的意義得到方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，然后綜合兩種情況得到不論m為任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）先利用求根公式得到x₁=-3，x₂=-

1

m

，再利用方程有兩個(gè)不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)和整數(shù)的整除性易得m=1．

解答：（1）證明：當(dāng)m=0時(shí)，方程變形為x+3=0，解得x=-3；
當(dāng)m≠0時(shí)，△=（3m+1）²-4m•3=9m²-6m+1=（3m-1）²，
∵（3m-1）²，≥0，即△≥0，
∴此時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以不論m為任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：根據(jù)題意得m≠0且△=（3m+1）²-4m•3=（3m-1）²＞0，
x=

-(3m+1)±(3m-1)

2m

，
所以x₁=-3，x₂=-

1

m

，
∵方程有兩個(gè)不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，
∴m=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．