Question

已知關于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；
（2）若方程mx²+（3m+1）x+3=0有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值．

Answer 1

考點：根的判別式

專題：證明題

分析：（1）分類討論：當m=0時，方程變形一元一次方程，有一個實數(shù)解；當m≠0時，方程為一元二次方程，再進行判別式得到△=（3m-1）²，易得△≥0，故判別式的意義得到方程有兩個實數(shù)根，然后綜合兩種情況得到不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；
（2）先利用求根公式得到x₁=-3，x₂=-

1

m

，再利用方程有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)和整數(shù)的整除性易得m=1．

解答：（1）證明：當m=0時，方程變形為x+3=0，解得x=-3；
當m≠0時，△=（3m+1）²-4m•3=9m²-6m+1=（3m-1）²，
∵（3m-1）²，≥0，即△≥0，
∴此時方程有兩個實數(shù)根，
所以不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；
（2）解：根據(jù)題意得m≠0且△=（3m+1）²-4m•3=（3m-1）²＞0，
x=

-(3m+1)±(3m-1)

2m

，
所以x₁=-3，x₂=-

1

m

，
∵方程有兩個不同的整數(shù)根，且m為正整數(shù)，
∴m=1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．