已知:如圖(1),在等腰直角△ACD中,∠ACD=90°,直線MN是經(jīng)過點A的直線,作DB⊥MN,垂足是點B.
(1)求證:BD+AB=
2
CB;
(2)當MN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖(2)的位置時,BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式?請寫出你的猜想,并給予證明.
考點:全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形
專題:
分析:(1)過點C作CE⊥CB交MN于E,先證△ACE≌△DCB,得出△ECB是等腰直角三角形,進而得出BE=
2
CB,又因為BE=AE+AB,即可求得.
(2)過點C作CE⊥CB交MN于E,先證△ACE≌△DCB,得出△ECB是等腰直角三角形,進而得出BE=
2
CB,又因為BE=AB-AE=AB-BD,即可求得.
解答:解:(1)如圖(1),過點C作CE⊥CB交MN于E,
∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,
∴∠BCD=∠ACE,
∵四邊形ACDB的內(nèi)角和為360°,
∴∠BCD+∠CAB=180°
∵∠EAC+∠CAB=180°,
∴∠EAC=∠BDC,
在△ACE與△DCB中,
AC=DC
∠EAC=∠BDC
∠BCD=∠ACE
,
∴△ACE≌△DCB(AAS)
∴AE=DB,CE=CB,
∴△ECB是等腰直角三角形,
∴BE=
2
CB,
又∵BE=AE+AB,
∴BE=BD+AB,
∴BD+AB=
2
CB.

(2)如圖(2)猜想:AB-BD=
2
CB,
證明:過C點作CE⊥CB交MN于E,
∵∠ACD=90°,∠ACE=90°-∠DCE,∠BCD=90°-∠ECD,
∴∠BCD=∠ACE,
∵DB⊥MN,
∴∠CAE=90°-∠AFC,∠D=90°-∠BFD,
∴∠CAE=∠D,
又∵AC=DC,
在△ACE與△DCB中,
∠BCD=∠ACE
∠CAE=∠D
AC=DC
,
∴△ACE≌△DCB(ASA)
∴AE=DB,CE=CB,
∴△ECB是等腰直角三角形,
∴BE=
2
CB,
又∵BE=AB-AE,
∴BE=AB-BD,
∴AB-BD=
2
CB.
點評:本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),四邊形的內(nèi)角和等.
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