Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=8，BC=6，BE⊥DC交DC的延長線于點E．
（1）求證：∠BCA=∠BAD；
（2）判斷BE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）求DE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出即可；
（2）連接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根據(jù)切線的判定得出即可；
（3）根據(jù)勾股定理求出AC長，證出△DEB∽△ABC，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）證明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD；

（2）解：BE為⊙O的切線，
理由如下：
連接BO，
∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCO+∠BCD=180°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠CBO+∠BCD=180°，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，
∴EB⊥OB，
∵OB是⊙O的半徑，
∴BE是⊙O的切線；

（3）解：在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
∵BE⊥DC，
∴∠DEB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DEB=∠ABC，
∵∠BAC=∠BDC，
∴△DEB∽△ABC，
∴

DE

AB

=

BD

AC

，
∴

DE

8

=

8

10

∴DE=

32

5

．

點評：本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定的應用，題目比較典型，綜合性比較強．