【題目】如圖,在矩形ABCD中,點O是對角線AC上一點,以O(shè)C為半徑的⊙O與CD交于點M,且∠BAC=∠DAM.

(1)求證:AM與⊙O相切;
(2)若AM=3DM,BC=2,求⊙O的半徑.

【答案】
(1)證明:連接OM.

在矩形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°

∴∠BAC=∠DCA,

∵OM=OC,

∴∠OMC=∠OCM.

∵∠BAC=∠DAM,

∴∠DAM=∠OMC.

∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA.

在△DAM中,∠D=90°,

∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°.

∴∠OMC+∠DMA=90°.

∴∠AMO=90°,

∴AM⊥MO.

點M在⊙O上,OM是⊙O的半徑,

∴AM與⊙O相切.


(2)在△BAC與△DAM中,

∵∠BAC=∠DAM,∠B=∠D,

∴△BAC∽△DAM,

,

∵AM=3DM,

∴AC=3BC.BC=2,

∴AC=6,

在△DAM中,DM2+AD2=AM2

即DM2+22=(3DM)2

解得DM= .AM=

在△AMO中,AM2+MO2=AO2

即( 2+MO2=(6﹣MO)2

解得MO=


【解析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊對等角得到AM⊥MO,由點M在⊙O上,OM是⊙O的半徑,得到AM與⊙O相切;(2)根據(jù)兩角相等兩三角形相似,得到△BAC∽△DAM,得到比例,求出AC的值,在△DAM中,根據(jù)勾股定理求出MO的值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙P經(jīng)過點A(0, )、O(0,0)、B(1,0),點C在第一象限的 上,則∠BCO的度數(shù)為

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【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點A在直線PQ上運動,點B在直線MN上運動.

(1)如圖1,已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,點A、B在運動的過程中,∠AEB的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明變化的情況;若不發(fā)生變化,試求出∠AEB的大小.

(2)如圖2,已知AB不平行CDAD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,點A、B在運動的過程中,∠CED的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值.

(3)如圖3,延長BAG,已知∠BAOOAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于E、F,在AEF中,如果有一個角是另一個角的3倍,試求∠ABO的度數(shù).

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【題目】在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A,B,其中ABAC,由于某種原因,由CA的路現(xiàn)在已經(jīng)不通,某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點HA、HB在一條直線上),并新修一條路CH,測得CB3千米,CH2.4千米,HB1.8千米.

1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路?(即問:CHAB是否垂直?)請通過計算加以說明;

2)求原來的路線AC的長.

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【題目】下面說法中錯誤的有( 。

如果△ABC的三個內(nèi)角滿足∠A=∠C﹣∠B,那么△ABC一定是直角三角形;

如果一個三角形只有一條高在三角形的內(nèi)部,那么這個三角形一定是鈍角三角形;

mn,則ma2na2;

方程3x+2y9的非負(fù)整數(shù)解是x1,y3

由三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形.

A.4B.3C.2D.1

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【題目】如圖(1),在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,連接BD.現(xiàn)將一個足夠大的直角三角板的直角頂點P放在BD所在的直線上,一條直角邊過點C,另一條直角邊與AB所在的直線交于點G.

(1)是否存在這樣的點P,使點P、C、G為頂點的三角形與△GCB全等?若存在,畫出圖形,并直接在圖形下方寫出BG的長.(如果你有多種情況,請用①、②、③、…表示,每種情況用一個圖形單獨表示,如果圖形不夠用,請自己畫圖)
(2)如圖(2),當(dāng)點P在BD的延長線上時,以P為圓心、PB為半徑作圓分別交BA、BC延長線于點E、F,連EF,分別過點G、C作GM⊥EF,CN⊥EF,M、N為垂足.試探究PM與FN的關(guān)系.

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(1)求證:CE是⊙O的切線.
(2)若FC∥AB,求證:四邊形AOCF是菱形.

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【題目】在一個不透明的袋子中裝著5個完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字0,1,,2,-1,-2,從袋中隨機取出一個小球。
(1)隨機地從布袋中摸出一個小球,則摸出的球上數(shù)字為正數(shù)的概率為
(2)若第一次從布袋中隨機摸出一個小球,設(shè)記下的數(shù)字為x,再將此球放回盒中,第二次再從布袋中隨機抽取一張,設(shè)記下的數(shù)字為y,記M(x,y),請用畫樹狀圖或列表法列舉出點M所有可能的坐標(biāo),并求點M位于第二象限的概率.

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(1)用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為萬元.
(2)如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為6.456萬元,求可變成本平均每年增長的百分率?

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