Question

如圖，已知拋物線l₁：y=x²-4的圖象與x有交于A、C兩點(diǎn)，
（1）若拋物線l₂與l₁關(guān)于x軸對稱，求l₂的解析式；
（2）若點(diǎn)B是拋物線l₁上的一動(dòng)點(diǎn)（B不與A、C重合），以AC為對角線，A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)定為D，求證：點(diǎn)D在l₂上；
（3）探索：當(dāng)點(diǎn)B分別位于l₁在x軸上、下兩部分的圖象上時(shí)，平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值？若存在，判斷它是何種特殊平行四邊形，并求出它的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：設(shè)l₂的解析式為y=a（x-h）²+k
∵l₁與x軸的交點(diǎn)A（-2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-4），l₁與l₂關(guān)于x軸對稱，
∴l(xiāng)₂過A（-2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4）
∴y=ax²+4
∴0=4a+4得a=-1
∴l(xiāng)₂的解析式為y=-x²+4

（2）證明：設(shè)B（x₁，y₁）
∵點(diǎn)B在l₁上
∴B（x₁，x₁²-4）
∵四邊形ABCD是平行四邊形，A、C關(guān)于O對稱
∴B、D關(guān)于O對稱
∴D（-x₁，-x₁²+4）．
將D（-x₁，-x₁²+4）的坐標(biāo)代入l₂：y=-x²+4
∴左邊=右邊
∴點(diǎn)D在l₂上．

（3）解：設(shè)平行四邊形ABCD的面積為S，
則S=2S_△ABC=AC×|y₁|=4|y₁|
a．當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，y₁＞0
∴S=4y₁，它是關(guān)于y₁的正比例函數(shù)且S隨y₁的增大而增大，
∴S既無最大值也無最小值
b．當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，-4≤y₁＜0
∴S=-4y₁，它是關(guān)于y₁的正比例函數(shù)且S隨y₁的增大而減小，
∴當(dāng)y₁=-4時(shí)，S由最大值16，但他沒有最小值
此時(shí)B（0，-4）在y軸上，它的對稱點(diǎn)D也在y軸上．
∴AC⊥BD．
∴平行四邊形ABCD是菱形，
此時(shí)S_最大=16．
分析：（1）因?yàn)殛P(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)是橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以可得l₂的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₁，x₁²-4），根據(jù)題意求的點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入解析式即可證明：點(diǎn)D在l₂上；
（3）首先表示出S的值，根據(jù)函數(shù)值的范圍即可得當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，y₁＞0，
S=4y₁，它是關(guān)于y₁的正比例函數(shù)且S隨y₁的增大而增大，∴S既無最大值也無最小值；
當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，-4≤y₁＜0，S_最大=16．
點(diǎn)評：考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、圖象、性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查綜合應(yīng)用知識(shí)，分析問題解決問題的能力．