Question

如圖，點(diǎn)O是四邊形AEBC外接圓的圓心，點(diǎn)O在AB上，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，且∠PEA=∠ADE，CD⊥AB于點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)D．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）若D為劣弧

BE

的中點(diǎn)，且AH=16，BH=9，求EB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得出，∠OAE=∠OEA，進(jìn)而利用圓周角定理得出答案；
（2）首先得出△END≌△CNB（AAS），進(jìn)而得出BE=DC，進(jìn)而求出即可．

解答：（1）證明：連接OE，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
∵∠PAE=∠ADE=∠ABE，
∴∠PAE+∠OEA=∠ABE+∠OAE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∴∠PEO=90°，
∴PE是⊙O的切線；

（2）解：連接BD，
∵AH=16，BH=9，AB為⊙O的直徑，
∴DH=12，
∵D是劣弧BE的中點(diǎn)，
∴∠CDB=∠DBE=∠EAD=∠BAD，
∴ND=NB，
在△END和△CNB中，

∠DEN=∠BCN ∠END=∠CNB DN=BN

，
∴△END≌△CNB（AAS），
∴EN=NC，
∴BE=DC，
∴DH=HC=12，
∴BE=DC=24．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△END≌△CNB是解題關(guān)鍵．