【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點E是線段AC上的一個動點且=k(0<k<1),點F在線段BC上,且DEFH為矩形;過點E作MN⊥BC,分別交AD,BC于點M,N.
(1)求證:△MED∽△NFE;
(2)當EF=FC時,求k的值.
(3)當矩形EFHD的面積最小時,求k的值,并求出矩形EFHD面積的最小值.
【答案】(1)見解析;(2);(3)矩形EFHD的面積最小值為,k=.
【解析】
(1)由矩形的性質得出∠B=90°,AD=BC=4,DC=AB=3,AD∥BC,證出∠EMD=∠FNE=90°,∠NEF=∠MDE,即可得出△MED∽△NFE;
(2)設AM=x,則MD=NC=4﹣x,由三角函數得出ME=x,得出NE=3﹣x,由相似三角形的性質得出=,求出NF=x,得出FC=4﹣x﹣x=4﹣x,由勾股定理得出EF==,當EF=FC時,得出方程4﹣x=,解得x=4(舍去),或x=,進而得出答案;
(3)由相似三角形的性質得出==,得出DE=EF,求出矩形EFHD的面積=DE×EF=EF2==,由二次函數的性質進而得出答案.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD=BC=4,DC=AB=3,AD∥BC,
∵MN⊥BC,
∴MN⊥AD,
∴∠EMD=∠FNE=90°,
∵四邊形DEFH是矩形,
∴∠MED+∠NEF=90°,
∴∠NEF=∠MDE,
∴△MED∽△NFE;
(2)解:設AM=x,則MD=NC=4﹣x,
∵tan∠DAC=tan∠MAE===,
∴ME=x,
∴NE=3﹣x,
∵△MED∽△NFE,
∴=,即=,
解得:NF=x,
∴FC=4﹣x﹣x=4﹣x,EF==,
當EF=FC時,4﹣x=,
解得:x=4或x=,
由題意可知x=4不合題意,
當x=時,AE=,
∵AC===5,
∴k==;
(3)解:由(1)可知:△MED∽△NFE,
∴,
∴DE=EF,
∴矩形EFHD的面積=DE×EF=EF2==
∴當x﹣=0時,即x=時,矩形EFHD的面積最小,最小值為:,
∵cos∠MAE===,
∴AE=AM=×=,
此時k==.
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【題目】如圖,在由邊長為個單位長度的小正方形組成的網格中,已知點,,,均為網格線的交點.
(1)在網格中將繞點順時針旋轉,畫出旋轉后的圖形;
(2)在網格中將放大倍得到,使與為對應點.
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【題目】問題:如圖1,等腰直角三角形中,,點、點分別在邊上,且,顯然.
變式:若將圖1中的繞點逆時針旋轉,使得點在的內部,其它條件不變(如圖2),請你猜想線段與線段的關系,并加以證明.
拓展:若圖2中的、都為等邊三角形,其它條件不變(如圖3),則__________,直線與相交所夾的銳角為__________°.
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【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線 與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.
如圖1,在中,是的完美分割線,且, 則的度數是
如圖2,在中,為角平分線,,求證: 為的完美分割線.
如圖2,中,是的完美分割線,且是以為底邊的等腰三角形,求完美分割線的長.
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【題目】只有1和它本身兩個因數且大于1的正整數叫做素數.我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果,哥德巴赫猜想是:每個大于2的偶數都可以表示為兩個素數的和,如16=3+ 13.
(1)若從7, 11, 19, 23中隨機抽取1個素數,則抽到的素數是7的概率是_______;
(2)若從7, 11, 19, 23中隨機抽取1個素數,再從余下的3個數字中隨機抽取1個素數,用面樹狀圖或列表的方法求抽到的兩個素數之和大于等于30的概率,
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【題目】已知,拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(﹣1,0)和C(0,3).(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對稱軸上,是否存在點P,使PA+PC的值最。咳绻嬖,請求出點P的坐標,如果不存在,請說明理由;(3)設點M在拋物線的對稱軸上,當△MAC是直角三角形時,求點M的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、D兩點,與y軸交于點B,四邊形OBCD是矩形,點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(0,4),已知點E(m,0)是線段DO上的動點,過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P,交BC于點G,交BD于點H.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當點P在直線BC上方時,請用含m的代數式表示PG的長度;
(3)在(2)的條件下,是否存在這樣的點P,使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似?若存在,求出此時m的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,將矩形紙片ABCD(AD>DC)的一角沿著過點D的直線折疊,使點A與BC邊上的點E重合,折痕交AB于點F.若BE:EC=m:n,則AF:FB=
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,且點B與點C的坐標分別為B(3,0),C(0,3),點M是拋物線的頂點.
(1)求二次函數的關系式;
(2)點P為線段MB上一個動點,過點P作PD⊥x軸于點D.若OD=m,△PCD的面積為S,
①求S與m的函數關系式,寫出自變量m的取值范圍.
②當S取得最值時,求點P的坐標;
(3)在MB上是否存在點P,使△PCD為直角三角形?如果存在,請直接寫出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.
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