Question

如圖，已知直線l的解析式為，拋物線y = ax2＋bx＋2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（2，0），D 三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象；

（2）已知點(diǎn) P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E, 延長(zhǎng)PE與直線l交于點(diǎn)F，請(qǐng)你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)， 并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將（2）中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連，求證：直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上．

 

 

Answer 1

（1），（–4，0），作圖見(jiàn)解析；（2），其中–4 < x < 0，12，（–2，2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，由y = ax2＋bx＋2經(jīng)過(guò)B（2，0），D ，將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得拋物線的解析式為；將A（m，0）代入所求解析式即可求出m，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)作出函數(shù)圖象.

（2）根據(jù)得到四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)；應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）應(yīng)用待定系數(shù)法求出PB所在直線的解析式，設(shè)出上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入PB所在直線的解析式，滿足即得結(jié)論.

試題解析：（1）∵y = ax2＋bx＋2經(jīng)過(guò)B（2，0），D ，

∴，解得

∴拋物線的解析式為.

∵A（m，0）在拋物線上，∴，解得.

∴A（–4，0）.

作拋物線的大致圖象如下：

（2）∵由題設(shè)知直線l的解析式為，∴.

又∵AB=6，∴.

∴將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)為，其中–4 < x < 0.

∵，

∴S最大= 12，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（–2，2）.

（3）∵ 直線PB過(guò)點(diǎn)P（–2，2）和點(diǎn)B（2，0），

∴PB所在直線的解析式為.

設(shè)Q是上的任一點(diǎn)，則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為.

將代入顯然成立.

∴直線l上任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在的直線上 .

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題；2.待定系數(shù)法的應(yīng)用；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式；5.二次函數(shù)最值的應(yīng)用.