Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，3），過(guò)點(diǎn)B作直線∥x軸，點(diǎn)P（a，3）是直線上的動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰Rt△APQ，∠APQ=Rt∠，直線AQ交y軸于點(diǎn)C
（1）當(dāng)a=1時(shí)，
①求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和直線AQ的解析式；
②點(diǎn)m在直線AQ上，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x軸下方一點(diǎn)，當(dāng)以O(shè)、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，求所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，直接寫(xiě)出答案．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動(dòng)．
①求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線對(duì)應(yīng)的解析式；
②當(dāng)AP+BQ的值最小時(shí)求a的值，直接寫(xiě)出答案．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，可作QF⊥BP，由于BP、OB已知，只需求出PF和QF．從條件“△APQ為等腰直角三角形”出發(fā)，構(gòu)造全等，即可解決問(wèn)題．
（2）本題要求動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)A、B的距離之和AQ+BQ的最小值，屬于“將軍飲馬型”，只需求出動(dòng)點(diǎn)Q所在直線的解析式，然后運(yùn)用解決“將軍飲馬型”的方法即可解決問(wèn)題；要求AQ+BQ取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的a的值，只需運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比建立關(guān)于a的方程，就可求出a的值．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA，垂足為E，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥BP，垂足為F，如圖1．
∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF=∠PEO=90°．
∵∠APQ=90°，∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF．
在△PEA和△PFQ中，

∠EPA=∠FPQ ∠PEA=∠PFQ=90° PA=PQ

，
∴△PEA≌△PFQ（AAS），
∴PE=PF，EA=QF，
∵a=1，∴P（1，3）．
∴OE=BP=1，PE=3．
∵A（2，0），∴OA=2，∴EA=1．
∴PF=3，QF=1．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，4）．
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，3），則PF=PE=3，QF=AE=|2-a|．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a+3，5-a）．
∵無(wú)論a為何值，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（a+3，5-a）都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+8，
∴點(diǎn)Q始終在直線y=-x+8上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)直線y=-x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，如圖2所示．
當(dāng)x=0時(shí)y=8，當(dāng)y=0時(shí)x=8．
∴OM=ON=8．
∵∠AOB=90°，∴∠OMN=45°．
過(guò)點(diǎn)A關(guān)于直線MN作對(duì)稱點(diǎn)A′，連A′Q、A′M，
則A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．
∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：
當(dāng)A′、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值為A′B長(zhǎng)．
設(shè)直線BP與A′M相交于點(diǎn)H，則BH⊥A′M．
在Rt△A′HB=90°，BH=OM=8，A′H=A′M-MH=6-3=3，
∴A′B=

BH2+A′H2

=

82+32

=

73

，
當(dāng)A′、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，
∵BN∥A′M，∴△BQN∽△A′QM．
根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比可得：

XQ

8-XQ

=

BN

A′M

=

8-3

6

，
解得x_Q=

40

11

，
∴a+3=

40

11

，
∴a=

7

11

，
∴當(dāng)a=

7

11

時(shí)，AQ+BQ的值最小為

73

．
故答案為：（4，4）、（

7

11

，

73

）．

點(diǎn)評(píng)：這道題考查了全等的性質(zhì)與判定、相似的性質(zhì)與判定，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，求出動(dòng)點(diǎn)Q所在直線的解析式是解決這道難題的關(guān)鍵；當(dāng)直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)等腰直角三角形時(shí)，可考慮構(gòu)造全等三角形，找出線段之間的等量關(guān)系，從而將條件與所求線段有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)；若要求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最小值，應(yīng)聯(lián)想到“將軍飲馬”這個(gè)基本模型．