Question

如圖1，已知A（a，0），B（0，b）．
（1）當(dāng)a、b滿(mǎn)足a²-8a+b²-8b+32=0時(shí)，求∠BAO的度數(shù)；
（2）如圖1，在（1）的條件下，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)（BC＞CA），以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，OC為腰作等腰Rt△OCD，連接BD，求證：∠BDO=∠BCO；
（3）如圖2，△ABO的兩條角平分線(xiàn)AE、BF交于點(diǎn)Q，若△ABQ的面積為24，求四邊形AFEB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)平方值的非負(fù)性質(zhì)即可求得a、b的值，即可解題；
（2）過(guò)C作EF∥OB交OA于F，交BD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，易證∠COF=∠DCE，即可證明△COF≌△DCE，可得CE=OF，即可求得EF=OB，即可證明四邊形OFEB為矩形，即可求得∠BDO=∠DOF，易證∠DOF=∠BCO，即可解題；
（3）過(guò)E作EG⊥BF交AB于G，過(guò)F作FH⊥AE分別交AE、AB于M、H，過(guò)H作HN⊥QG于N點(diǎn)，易證BE=BG，即可證明△BQE≌△BGQ，同理可得△AQH≌△AQF，易證S_△EQF=S_△GQH，可得S_△AQB=S_△BQE+S_△AQF+S_△EQF，即可求得四邊形AFEB的面積，即可解題．

解答：解：（1）∵a²-8a+b²-8b+32=0，
∴a²-8a+16+b²-8b+16=0，即（a-4）²+（b-4）²=0，
∴a=b=4，
∴∠BAO=45°；
（2）過(guò)C作EF∥OB交OA于F，交BD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，

則∠OFC=∠CED=90°，
∵∠OCF+∠COF=90°，∠OCF+∠DCE=90°，
∴∠COF=∠DCE，
在△COF和△DCE中，

∠E=∠OFC=90° ∠COF=∠DCE CD=OC

，
∴△COF≌△DCE，（AAS）
∴CE=OF，
∵∠BAO=45°，∠CFA=90°，
∴AF=CF，
∴EF=CE+CF=OF+AF=OA=OB，
∴四邊形OFEB為矩形，
∴BD∥OA，
∴∠BDO=∠DOF，
∵∠DOF=∠COD+∠COF，∠BCO=∠BAO+∠COF，∠COD=∠BAO=45°，
∴∠DOF=∠BCO，
∴∠BDO=∠BCO．
（3）過(guò)E作EG⊥BF交AB于G，過(guò)F作FH⊥AE分別交AE、AB于M、H，過(guò)H作HN⊥QG于N點(diǎn)，

∵BF平分∠ABO，EG⊥BQ，
∴BQ是EG垂直平分線(xiàn)，
∴BE=BG，
在△BQE和△BGQ中，

BE=BG ∠FBE=∠FBG BQ=BQ

，
∴△BQE≌△BGQ，（SAS）
同理△AQH≌△AQF，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°．
∵BF平分∠OBA，AE平分∠OAB，
∴∠ABQ+∠BAQ=45°，
∴∠GQH=∠HQM=45°，
∴四邊形QMHN是矩形，
∵FH⊥AE，
∴QM=HM，
∴四邊形QMHN是正方形，
∴NH=HM，
∵HM=FM，
∴MF=HN，
∴S_△EQF=S_△GQH，
∴S_△AQB=S_△BQE+S_△AQF+S_△EQF=24，
∴S_{四邊形AFEB}=24×2=48．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△COF≌△DCE、△BQE≌△BGQ和△AQH≌△AQF是解題的關(guān)鍵．