Question

已知：在△ABC中，AB=2BC，∠ABC=60°
（1）如圖1，求證：∠BAC=30°；
（2）分別以AB、AC為邊，在△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，聯(lián)結(jié)DE，交AB于點(diǎn)F如圖2．求證：DF=EF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)CD，則AB=2BD．易證△BCD為等邊三角形，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推知：CD=BD，∠BDC=60°；所以由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角定理得到∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A=60°，即∠BAC=30°；
（2）如圖2，作DG∥AE，交AB于點(diǎn)G，由等邊三角形的∠EAC=60°，加上已知的∠CAB=30°得到∠FAE=90°，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠DGF=90°，再根據(jù)∠ACB=90°，∠CAB=30°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到∠ABC=60°，由等邊三角形的性質(zhì)也得到∠DBG=60°，從而得到兩角的相等，再由DB=AB，利用“AAS”證得△DGB≌△ACB，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到DG=AC，再由△AEC為等邊三角形得到AE=AC，等量代換可得DG=AE，加上一對(duì)對(duì)頂角的相等和一對(duì)直角的相等根據(jù)“AAS”證得△DGF≌△EAF，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．

解答：（1）證明：如圖1，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)CD，則AB=2BD．
∵AB=2BC，
∴BD=BC．
又∵∠ABC=60°，
∴△BCD為等邊三角形，
∴CD=BD，∠BDC=60°，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A=60°，
∴∠BAC=30°；

（2）證明：如圖2，作DG∥AE，交AB于點(diǎn)G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD為等邊三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，

∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC    DB=AB

，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC為等邊三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，

∠DGF=∠EAF   ∠DFG=∠EFA   DG=EA

，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，其中全等三角形的判定方法為：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時(shí)，要注意公共角及公共邊，對(duì)頂角相等等隱含條件的運(yùn)用．第二問作出輔助線構(gòu)造全等三角形是本問的突破點(diǎn)．