Question

7．（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在BC的延長線上，連接CE，請?zhí)羁眨?br />①∠ACE的度數(shù)為60°；
②線段AC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為AC=CE-CD．
（2）拓展探究
如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，連接CE請判斷∠ACE的度數(shù)及線段AC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）問題解決
如圖3，在Rt△ABC中，AC=3，BC=5，∠ACB=90°，若點(diǎn)P滿足PA=PB，∠APB=90°，請直接寫出線段PC的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，利用等量代換得∠BAD=∠CAE，則可根據(jù)“SAS”判斷△ABD≌△ACE，
根據(jù)全等三角形的想知道的BD=CE，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACE=∠B=45°，BD=CE，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）如圖3，點(diǎn)C，P在AB的同側(cè)根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{34}$，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)已知條件得到A，B，P，C四點(diǎn)共圓，AP=PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{17}$，設(shè)AE=DE=x，則BE=$\frac{5}{3}$x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PC=$\sqrt{2}$，如圖4，點(diǎn)C，P在AB的異則，過A作AD⊥PC于D，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，根據(jù)勾股定理得到PD=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，求得PC=CD+PD=4$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）①∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△ADE為等邊三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠B=60°；
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BC=BD-CD=CE-CD，
∴AC=CE-CD；
故答案為：60°，AC=CE-CD；

（2）∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
在△ACE與△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE，
即BC+CD=CE，
∴BC=CE-CD，
∴$\sqrt{2}$AC=CE-CD；

（3）如圖3，點(diǎn)C，P在AB的同側(cè)，∵AC=3，BC=5，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{34}$，
過D作DE⊥AB于E，
∵PA=PB，∠APB=90°，
∴∠PAB=∠PBA=45°，且A，B，P，C四點(diǎn)共圓，AP=PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{17}$，
設(shè)AE=DE=x，
則BE=$\frac{5}{3}$x，
∴x+$\frac{5}{3}$x=$\sqrt{34}$，
∴x=$\frac{3\sqrt{34}}{8}$，
∴AE=DE=$\frac{3\sqrt{34}}{8}$，
∴AD=$\sqrt{2}$AE=$\frac{3\sqrt{17}}{4}$，
∴PD=AP-AD=$\frac{\sqrt{17}}{4}$，
∴BD=$\sqrt{P{D}^{2}+P{B}^{2}}$=$\frac{17}{4}$，
∵A，B，P，C四點(diǎn)共圓，
∴∠PCB=∠PAB，∠CPA=∠ABC，
∴△PCD∽△ABD，
∴$\frac{PC}{AB}=\frac{PD}{BD}$，
∴PC=$\sqrt{2}$，
如圖4，點(diǎn)C，P在AB的異則，

過A作AD⊥PC于D，
∵∠ACB=∠APB=90°，
∴A，B，P，C四點(diǎn)共圓，
∴∠ACD=∠ABP=45°，∠APD=∠ABC，
∴CD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴PD=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴PC=CD+PD=4$\sqrt{2}$，
綜上所述：線段PC的長度是$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解決（3）小題的關(guān)鍵．