【題目】已知線段AB,如果將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC,則稱點(diǎn)C為線段AB關(guān)于點(diǎn)A的逆轉(zhuǎn)點(diǎn).點(diǎn)C為線段AB關(guān)于點(diǎn)A的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)的示意圖如圖1:
(1)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)_____為線段BC關(guān)于點(diǎn)B的逆轉(zhuǎn)點(diǎn);
(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0),且x>0,點(diǎn)E是y軸上一點(diǎn),點(diǎn)F是線段EO關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn),點(diǎn)G是線段EP關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn),過逆轉(zhuǎn)點(diǎn)G,F的直線與x軸交于點(diǎn)H.
①補(bǔ)全圖;
②判斷過逆轉(zhuǎn)點(diǎn)G,F的直線與x軸的位置關(guān)系并證明;
③若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,5),連接PF、PG,設(shè)△PFG的面積為y,直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
【答案】(1)A;(2)①補(bǔ)圖見解析;②GF⊥x軸;證明見解析;③y=.
【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)C為線段AB關(guān)于點(diǎn)A的逆轉(zhuǎn)點(diǎn)的定義判斷即可.
(2)①按題干定義補(bǔ)圖即可.
②結(jié)論:GF⊥x軸.證明△GEF≌△PEO(SAS),推出∠GFE=∠EOP=90°可得結(jié)論.
③分兩種情形:如圖4﹣1中,當(dāng)0<x<5時(shí),如圖4﹣2中,當(dāng)x>5時(shí),分別利用三角形的面積公式求解即可.
解:(1)由題意,點(diǎn)A是線段AB關(guān)于點(diǎn)B的逆轉(zhuǎn)點(diǎn),
故答案為A.
(2)①圖形如圖3所示.
②結(jié)論:GF⊥x軸.
理由:∵點(diǎn)F是線段EF關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn),點(diǎn)G是線段EP關(guān)于點(diǎn)E的逆轉(zhuǎn)點(diǎn),
∴∠OEF=∠PEG=90°,EG=EP,EF=EO,
∴∠GEF=∠PEO,
∴△GEF≌△PEO(SAS),
∴∠GFE=∠EOP,
∵OE⊥OP,
∴∠POE=90°,
∴∠GFE=90°,
∵∠OEF=∠EFH=∠EOH=90°,
∴四邊形EFHO是矩形,
∴∠FHO=90°,
∴FG⊥x軸.
③如圖4﹣1中,當(dāng)0<x<5時(shí),
∵E(0,5),
∴OE=5,
∵四邊形EFHO是矩形,EF=EO,
∴四邊形EFHO是正方形,
∴OH=OE=5,
∴y=FGPH=x(5﹣x)=﹣x2+x.
如圖4﹣2中,當(dāng)x>5時(shí),
y=FGPH=x(x﹣5)=x2﹣x.
綜上所述,y=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE∥AB,EB∥CD,連接DE交BC于點(diǎn)O.
(1)求證:DE=BC;
(2)如果AC=5,,求DE的長(zhǎng).
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【題目】已知:△ABC為等邊三角形.
(1)求作:△ABC的外接圓⊙O.(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)射線AO交BC于點(diǎn)D,交⊙O于點(diǎn)E,過E作⊙O的切線EF,與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.
①根據(jù)題意,將(1)中圖形補(bǔ)全;
②求證:EF∥BC;
③若DE=2,求EF的長(zhǎng).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+4ax+b(a>0)的頂點(diǎn)A在x軸上,與y軸交于點(diǎn)B.
(1)用含a的代數(shù)式表示b;
(2)若∠BAO=45°,求a的值;
(3)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).若拋物線在點(diǎn)A,B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域(不含邊界)內(nèi)恰好沒有整點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫出a的取值范圍.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠B=∠C.以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E.
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)延長(zhǎng)DE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若AB=8,sinB=,求線段FA的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AM∥BC,且AC平分∠BAM.
(1)用尺規(guī)作∠ABC的平分線BD交AM于點(diǎn)D,連接CD.(只保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)求證:四邊形ABCD是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,△ABC是等邊三角形.
(1)如圖1,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AD,連接BD,∠BAC的平分線交BD于點(diǎn)E,連接CE.
①求∠AED的度數(shù);
②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果).
(2)如圖2,將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AD,連接BD,∠BAC的平分線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接CE.
①依題意補(bǔ)全圖2;
②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,拋物線yx2bxc與直線yx3分別交于x軸,y軸上的B,C兩點(diǎn),設(shè)該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為D,連接CD交x軸于點(diǎn)E.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求該拋物線的對(duì)稱軸和D點(diǎn)坐標(biāo);
(3)點(diǎn)F,G是對(duì)稱軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且FG=2,點(diǎn)F在點(diǎn)G的上方,請(qǐng)直接寫出四邊形ACFG的周長(zhǎng)的最小值;
(4)連接BD,若P在y軸上,且∠PBC=∠DBA+∠DCB,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=x2﹣2mx+1圖象與y軸的交點(diǎn)為A,將點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B.
(1)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求出拋物線的對(duì)稱軸(用含m的式子表示);
(3)若函數(shù)y=x2﹣2mx+1的圖象與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn),求m的取值范圍.
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