【題目】(1) 發(fā)現(xiàn):
如圖1,點(diǎn)是線段外一動點(diǎn),且,.當(dāng)點(diǎn)位于 時(shí),線段的長取得最大值;最大值為 (用含,的式子表示).
(2)應(yīng)用:
如圖2,點(diǎn)為線段外一動點(diǎn),,,分別以,為邊在外部作等邊和等邊,連接,.
①求證:;
②直接寫出線段長的最大值.
(3)拓展:
如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)為線段外一動點(diǎn),,,,請直接寫出線段長的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)線段的延長線上,;(2)①證明見解析;②3;③,(2-,)或(2-,-).
【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí),線段AC的長取得最大值,即可得到結(jié)論;
(2)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE;②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值,根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果;
(3)連接BM,將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時(shí),線段BN取得最大值,即可得到最大值為;如圖2,過P作PE⊥x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(1)∵點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn),且BC=a,AB=b,
∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí),線段AC的長取得最大值,且最大值為BC+AB=a+b,
故答案為:CB的延長線上,a+b;
(2)①證明: ∵是等邊三角形.
∴,,
∵是等邊三角形,
∴, ,
∴,
∴,
∴.
在與中,
∴(),
∴.即.
②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值,
由(1)知,當(dāng)線段CD的長取得最大值時(shí),點(diǎn)D在CB的延長線上,
∴最大值為BD+BC=AB+BC=3;.
(3)如圖1,
∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,
則△APN是等腰直角三角形,
∴PN=PA=3,BN=AM,
∵A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),
∴OA=3,OB=5,
∴AB=2,
∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,
∴當(dāng)N在線段BA的延長線上時(shí),線段BN取得最大值,
最大值=AB+AN,
∵AN=AP=3,
∴最大值為3+2;
如圖2,
過P作PE⊥x軸于E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴PE=AE=,
∴OE=BO-AB-AE=5-3-=2-,
∴P(2-,).
如圖3中,
根據(jù)對稱性可知當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí),P(2-,-)時(shí),也滿足條件.
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)(2-,)或(2-,-),AM的最大值為3+2.
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A.B.C.D.
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求證:
(1)HO·HF=HG·HE;
(2)FG=CD
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