Question

【題目】如圖，已知∠XOY=90°，等邊三角形PAB的頂點(diǎn)P與O點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A是射線OX上的一個(gè)定點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)B在∠XOY的內(nèi)部．
（1）當(dāng)頂點(diǎn)P在射線OY上移動(dòng)到點(diǎn)P1時(shí)，連接AP1 ， 請用尺規(guī)作圖；在∠XOY內(nèi)部作出以AP1為邊的等邊△AP1B1（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）；
（2）設(shè)AP1交OB于點(diǎn)C，AB的延長線交B1P1于點(diǎn)D．求證：△ABC∽△AP1D；
（3）連接BB1 ， 求證：∠ABB1=90°．

Answer 1

【答案】
（1）解：等邊三角形作圖所如下；

（2）∵△PAB、△P1AB1是等邊三角形，

∴∠ABC=∠AP1D=60°，

又∵∠BAC=∠P1AD，

∴△ABC∽△AP1D．

（3）證明：

∵△PAB、△P1AB1是等邊三角形，

∴∠BAP=∠P1AB1=60°，AB=AP，AB1=AP1．

∴∠BA B1=∠P1AP．

∴△BA B1≌△P1AP（SAS）．

∴∠AB B1=∠P1 PA=90°．

【解析】（1）分別以A、P1為圓心，AP1長為半徑畫弧，兩弧交于B1點(diǎn)，△AP1B1即為所求；（2）欲證△ABC∽△AP1D，必須有兩組角相等，∠BAC=∠P1AD為一個(gè)公共角，又因?yàn)椤鱌AB和△P1AB1都是正三角形，所以有∠ABC=∠AP1D=60°所以△ABC∽△AP1D；（3）有（1）（2）可知AO=AB，AP1=AB1 ， ∠PAB=∠P1AB1=60°，所以有∠OAP1=∠BAB1=60°﹣∠CAB，因此根據(jù)邊角邊公式可證△OAP1≌△BAB1 ， 因此可得∠ABB1=∠AOP1=90°
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．