Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中⊙O₁，⊙O₂，…⊙O_n，為n個(gè)（n≥2）相等的圓，⊙O₁與⊙O₂相外切，⊙O₂與⊙O₃相外切…，⊙O_n-1與⊙O_n相外切，⊙O₁，⊙O₂，…，⊙O_n都與AB相切，且⊙O₁與AC相切，⊙O_n與BC相切，求這些等圓的半徑r（用n表示）．

Answer 1

分析 連接AO₁，BO_n，CO₁，CO_n，O₁O_n，根據(jù)△ABC的面積=△AO₁ C的面積+△BO_nC的面積+△CO₁ O_n的面積+梯形AO₁O_nB的面積，即可得出結(jié)果．

解答 解：連接AO₁，BO_n，CO₁，CO_n，O₁O_n，如圖所示：
則${S}_{△A{O}_{1}C}=\frac{1}{2}AC•r$=2r，${S}_{△B{O}_{n}C}=\frac{1}{2}BC•r$=$\frac{3}{2}$r
∵等圓⊙O₁，⊙O₂，…，⊙O_n依次外切，且均與AB邊相切，
∴O₁，O₂，…，O_n均在直線O₁O_n上，且O₁O_n∥AB，
∴O₁O_n=（n-2）2r+2r=2（n-1）r．
過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交O₁O_n于點(diǎn)K，
則CH=$\frac{12}{5}$，CK=$\frac{12}{5}$-r．
${S}_{△C{O}_{1}{O}_{n}}$=$\frac{1}{2}$O₁O₂•CK=（n-1）（$\frac{12}{5}$-r）r，${S}_{梯形A{O}_{1}{O}_{n}B}$=$\frac{1}{2}$[2（n-1）r+5]r=[（n-1）+$\frac{5}{2}$]r，
∵△ABC的面積=△AO₁ C的面積+△BO_nC的面積+△CO₁ O_n的面積+梯形AO₁O_nB的面積，
∴6=$\frac{3}{2}$r+2r+（n-1）（$\frac{12}{5}$-r）r+[（n-1）r+$\frac{5}{2}$]r，
解得：r=$\frac{5}{2n+3}$，
即這些等圓的半徑r=$\frac{5}{2n+3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相切兩圓的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算方法；解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積的不同計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算．