Question

【題目】如圖，拋物線與軸交、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.

（1）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求線段長度的最大值；

（3）點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使、、、四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，寫出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)（請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，不要求寫過程）；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），，。（2）。（3），，，.

【解析】

（1）因?yàn)閽佄锞�與x軸相交，所以可令y=0，解出A、B的坐標(biāo)．再根據(jù)C點(diǎn)在拋物線上，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線中即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．再根據(jù)兩點(diǎn)式方程即可解出AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）根據(jù)P點(diǎn)在AC上可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)．E點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)已知的拋物線求得．因?yàn)?/span>PE都在垂直于x軸的直線上，所以兩點(diǎn)之間的距離為yp-yE，列出方程后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；

（3）此題要分兩種情況：①以AC為邊，②以AC為對角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質(zhì)求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，

∴A（-1，0）B（3，0），

將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，

∴C（2，-3），

∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1；

（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），

則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），

E（x，x2-2x-3），

∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，

∴當(dāng)x=時(shí)，PE的最大值=；

（3）存在4個(gè)這樣的點(diǎn)，分別是，，，.

①如圖1，

連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，那么CG∥x軸，此時(shí)AF=CG=2，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，0）；

②如圖2，

AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；

③如圖3，

此時(shí)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+，3），

設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，

將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+，

因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4+，0）；

④如圖4，

同③可求出F的坐標(biāo)為（4-，0）．

總之，符合條件的F點(diǎn)共有4個(gè)．