Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B(4，0) ，與過(guò)A點(diǎn)的直線相交于另一點(diǎn)D(3，) ，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O，C重合），過(guò)P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點(diǎn)N，連接CM，求△PCM 面積的最大值；

（3）若P 是x 軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OP 的長(zhǎng)為t.是否存在t，使以點(diǎn)M，C，D，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）把B（4，0），點(diǎn)D（3， ）代入即可得出拋物線的解析式；

（2）先用含t的代數(shù)式表示P、M坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求出△PCM的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用配方法可求出△PCM面積的最大值；

（3）若四邊形DCMN為平行四邊形，則有MN=DC，故可得出關(guān)于t的二元一次方程，解方程即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）把點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（3， ），代入中得， ，解得： ，∴拋物線的表達(dá)式為；

（2）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，∵A（0，1），D（3， ），∴，∴，∴直線AD的解析式為，設(shè)P（t，0），∴M（t， ），∴PM=，∵CD⊥x軸，∴PC=3﹣t，∴S△PCM=PCPM=（3﹣t）（），∴S△PCM==，∴△PCM面積的最大值是；

（3）∵OP=t，∴點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為t，設(shè)M（t， ），N（t， ），∴MN== ，CD=，如果以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴MN=CD，即=，∵△=﹣39，∴方程=無(wú)實(shí)數(shù)根，∴不存在t，使以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

（3）∵OP=t，∴點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為t，設(shè)M（t， ），N（t， ），∴MN== ，CD=；

①如圖1，如果以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴MN=CD，即=，∵△=﹣39，∴方程=無(wú)實(shí)數(shù)根，∴不存在t；

②如圖2，如果以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴MN=CD，即=，∴t=（負(fù)值舍去），∴當(dāng)t=時(shí)，以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．