Question

如圖：已知點A、B、C、D順次在圓O上，AB=BD，BM⊥AC，垂足為M．證明：AM=DC+CM．（阿基米德折弦定理）

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：證明題

分析：如圖，將△ABM繞點B旋轉(zhuǎn)到△DBN，使∠BAM與∠BDC重合，再證△BMC≌△BNC，可得MC=CN，即可得出．

解答：證明：∵

BC

=

BC

，
∴∠BAM=∠BDC，又AB=BD，
將△ABM繞點B旋轉(zhuǎn)到△DBN，使∠BAM與∠BDC重合，如圖，
∴△ABM≌△DBN，
∴AM=DN，BM=BN，∠AMB=∠N，
∵BM⊥AC，即∠AMB=90°，
∴∠N=90°，
在直角△BMC和直角△BNC中，

BM=BN BC=BC

，
∴△BMC≌△BNC，
∴CM=CN，
∴DN=CD+CN，
∴AM=DC+CM．

點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)建全等三角形，是解答的本題的關(guān)鍵．