Question

如圖，頂點(diǎn)為P（4，－4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0），點(diǎn)A在該圖象上，OA交其對(duì)稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，連接AN、ON．

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（6，－3），求△ANO的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)解答下面問(wèn)題：
①證明：∠ANM＝∠ONM；
②△ANO能否為直角三角形？如果能，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）
（2）12
（3）相似三角形的基本知識(shí)推出該角度的相等，不能

解析試題分析：（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P（4，－4），∴設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為。
又∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0），∴，解得。
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為，即。（2分）
（2）設(shè)直線OA的解析式為，將A（6，－3）代入得，解得。
∴直線OA的解析式為。
把x=4代入得y=-2�！郙（4，－2）。
又∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，∴N（4，－6），MN=4。
∴。（3分）
（3）①證明：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥于點(diǎn)H，，與x軸交于點(diǎn)D。則
設(shè)A（）,
則直線OA的解析式為。
則M（），N（），H（）。
∴OD=4，ND=，HA=，NH=。
∴。
∴�！唷螦NM=∠ONM。（2分）
②不能。理由如下：分三種情況討論：
情況1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=45⁰，
∴△AHN是等腰直角三角形�！郒A=NH，即。
整理，得，解得。
∴此時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合。故此時(shí)不存在點(diǎn)A，使∠ONA是直角。
情況2，若∠AON是直角，則。
∵ ，
∴。
整理，得，解得，。
∴此時(shí)，故點(diǎn)A與原點(diǎn)或與點(diǎn)P重合。故此時(shí)不存在點(diǎn)A，使∠AON是直角。
情況3，若∠NAO是直角，則△AMN∽△DMO∽△DON，∴。
∵OD=4，MD=，ND=，∴。
整理，得，解得。
∴此時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合。故此時(shí)不存在點(diǎn)A，使∠ONA是直角。
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)A在對(duì)稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ANO不能成為直角三角形。（3分）
考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題
點(diǎn)評(píng)：在解題時(shí)要能靈運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出二次函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的關(guān)鍵．