Question

如圖，頂點(diǎn)為D的拋物線y=x²+bx-3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，連接BC，已知tan∠ABC=1．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線y=x²+bx-3的解析式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使△CDP的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)E（x，y）是拋物線上不同于A，B，C的任意一點(diǎn)，設(shè)以A，B，C，E為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）欲求點(diǎn)B的坐標(biāo)，由tan∠ABC=1，知OB=OC，只需知道C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式知C（0，-3），從而可求點(diǎn)B的坐標(biāo)．把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=x²+bx-3，求出b的值．
（2）CD的長(zhǎng)一定，可找C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′，則有CP=C′P，CP+PD最短，即D、P、C′三點(diǎn)一線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出△CDP的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)E在第一象限或第二象限時(shí)，四邊形ABCE的面積=S_△ABC+S_△AEB；當(dāng)E在第三象限，四邊形ABCE的面積=S_△BOC+S_△AOE+S_△COE；當(dāng)E在第四象限，四邊形ABCE的面積=S_△AOC+S_△OCE+S_△BOE，分別得出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式及取值范圍．

解答：解：（1）∵tan∠ABC=1，
∴OC：OB=1，
∴OB=OC=3，
∴B（3，0），
把B（3，0）代入y=x²+bx-3，得9+3b-3=0，b=-2，
∴y=x²-2x-3；

（2）P（

3

7

，0），
頂點(diǎn)橫坐標(biāo)=2÷（2×1）=1，
縱坐標(biāo)=[4×1×（-3）-（-2）×（-2）]÷4×1=-4，
D（1，-4）
∵△CED∽△C′OP，
∴

C′O

C′E

=

AP

ED

，
∴

3

7

=

OP

1

，
∴P（

3

7

，0）．

（3）當(dāng)E在第四象限，S=-

3

2

x²+

9

2

x+6（0＜x＜3），
當(dāng)E在第三象限，S=-

1

2

x²-

1

2

x+6（-1＜x＜0），
當(dāng)E在第一象限或第二象限，S=2x²-4x（x＜-1或x＞3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的知識(shí)，及代入法求二次函數(shù)，同時(shí)考查了圖形的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算，注意某個(gè)圖形無(wú)法解答時(shí)，常常利用圖形間的“和差“關(guān)系求解．