【題目】⊙O直徑AB=12cm,AM和BN是⊙O的切線,DC切⊙O于點E且交AM于點D,交BN于點C,設AD=x,BC=y.
(1)求y與x之間的關系式;
(2)x,y是關于t的一元二次方程2t2﹣30t+m=0的兩個根,求x,y的值;
(3)在(2)的條件下,求△COD的面積.
【答案】(1)y=;(2)或;(3)45.
【解析】
(1)如圖,作DF⊥BN交BC于F,根據切線長定理得,則DC=DE+CE=x+y,在中根據勾股定理,就可以求出y與x之間的關系式.
(2)由(1)求得,由根與系數(shù)的關系求得的值,通過解一元二次方程即可求得x,y的值.
(3)如圖,連接OD,OE,OC,由AM和BN是⊙O的切線,DC切⊙O于點E,得到,,,推出S△AOD=S△ODE,S△OBC=S△COE,即可得出答案.
(1)如圖,作DF⊥BN交BC于F;
∵AM、BN與⊙O切于點定A、B,
∴AB⊥AM,AB⊥BN.
又∵DF⊥BN,
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°,
∴四邊形ABFD是矩形,
∴BF=AD=x,DF=AB=12,
∵BC=y,
∴FC=BC﹣BF=y﹣x;
∵DE切⊙O于E,
∴DE=DA=xCE=CB=y,
則DC=DE+CE=x+y,
在Rt△DFC中,
由勾股定理得:(x+y)2=(y﹣x)2+122,
整理為:y=,
∴y與x的函數(shù)關系式是y=.
(2)由(1)知xy=36,
x,y是方程2x2﹣30x+a=0的兩個根,
∴根據韋達定理知,xy=,即a=72;
∴原方程為x2﹣15x+36=0,
解得或.
(3)如圖,連接OD,OE,OC,
∵AD,BC,CD是⊙O的切線,
∴OE⊥CD,AD=DE,BC=CE,
∴S△AOD=S△ODE,
S△OBC=S△COE,
∴S△COD=××(3+12)×12=45.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=30°,將AC繞著點A順時針旋轉60°得AE,連接BE,CE.
(1)求證:△ADC≌△ABE;
(2)求證:
(3)若AB=2,點Q在四邊形ABCD內部運動,且滿足,直接寫出點Q運動路徑的長度.
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2+2x+3.
(1)求函數(shù)圖象的頂點坐標,并畫出這個函數(shù)的圖象;
(2)根據圖象,直接寫出:
①當函數(shù)值y>0時,自變量x的取值范圍;
②當2<x<2時,函數(shù)值y的取值范圍.
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【題目】如圖,AE、BE是△ABC的兩個內角的平分線,過點A作AD⊥AE.交BE的延長線于點D.若AD=AB,BE:ED=1:2,則cos∠ABC=_____.
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【題目】如圖,直線y=x﹣1與拋物線y=﹣x2+6x﹣5相交于A、D兩點.拋物線的頂點為C,連結AC.
(1)求A,D兩點的坐標;
(2)點P為該拋物線上一動點(與點A、D不重合),連接PA、PD.
①當點P的橫坐標為2時,求△PAD的面積;
②當∠PDA=∠CAD時,直接寫出點P的坐標.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.任意給定一個正方形,一定存在另一個正方形,它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的一半
B.任意給定一個正方形,一定存在另一個正方形,它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍
C.任意給定一個矩形,一定存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半
D.任意給定一個矩形,一定存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍
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【題目】如圖,對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平,再一次折疊紙片,使點A落在EF上的點A′處,并使折痕經過點B,得到折痕BM,若矩形紙片的寬AB=4,則折痕BM的長為( )
A.B.C.8D.
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【題目】為迎接年中、日、韓三國青少年橄欖球比賽,南雅中學計劃對面積為運動場進行塑膠改造.經投標,由甲、乙兩個工程隊來完成,已知甲隊每天能改造的面積是乙隊每天能改造面積的倍,并且在獨立完成面積為的改造時,甲隊比乙隊少用天.
(1)求甲、乙兩工程隊每天能完成塑膠改造的面積;
(2)設甲工程隊施工天,乙工程隊施工天,剛好完成改造任務,求與的函數(shù)解析式;
(3)若甲隊每天改造費用是萬元,乙隊每天改造費用是萬元,且甲、乙兩隊施工的總天數(shù)不超過天,如何安排甲、乙兩隊施工的天數(shù),使施工總費用最低?并求出最低的費用.
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【題目】.Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,點D在邊BC上,BD=2CD(圖4).把△ABC繞著點D逆時針旋轉m(0<m<180)度后,如果點B恰好落在初始Rt△ABC的邊上,那么m=_________.
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