Question

24、在等腰直角三角形ABC的斜邊AB所在的直線上有點(diǎn)P，滿足S=AP²+BP²，求所有這樣的P點(diǎn)，使得S=2CP²．

Answer 1

分析：此題分兩種情況討論：①當(dāng)P在線段AB上，②當(dāng)P在直線AB上（線段AB以外的部分）；可利用勾股定理來探討符合要求的點(diǎn)P有哪些．

解答：解：要使AP²+PB²=2PC²，當(dāng)P為AB上時(shí)，假設(shè)P為中點(diǎn)時(shí)，AP=PB=PC，滿足條件，
當(dāng)點(diǎn)P不為中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作AB的垂線，亦滿足條件；
當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)P作PF⊥BC，PE⊥CA；
PC²=PF²+CF²，AP²=AE²+PE²=AE²+FC²=2CF²
PB²=BF²+PF²=PF²+（BC+CF）²=2PF²
AP²+PB²=2CF²+PF²+PF²
2PC²=2PF²+2CF²
所以AP²+PB²=2PC²，滿足條件；
同理，當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，也滿足條件；
綜上可知：直線AB上的所有點(diǎn)都符合點(diǎn)P的要求．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，解法并不復(fù)雜，難點(diǎn)在于將問題考慮全面，做到不漏解．