【題目】如圖,已知正方形的邊長為4,是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,過點(diǎn)的垂線交于點(diǎn),以為邊作正方形,頂點(diǎn)在線段上,對角線,相交于點(diǎn).

1)若,則 ;

2)①求證:點(diǎn)一定在的外接圓上;

②當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長;

3)在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng),求該圓心到邊的距離的最大值.

【答案】(1);(2)①詳見解析;②2;(3)

【解析】

1)由正方形的性質(zhì)得出∠C=B=EPG=90°,PFEG,CD=BC=4,∠OEP=45°,由角的互余關(guān)系證出∠BEP=DPC,得出CDP∽△BPE,得出對應(yīng)邊成比例即可求出BE的長;
2)①B、P、O、E四點(diǎn)共圓,即可得出結(jié)論;
②連接BO、BD,由勾股定理求出BD=4,由圓周角定理得出∠OBP=OEP=45°,周長點(diǎn)OBD上,當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),OBD的中點(diǎn),即可得出答案;
3)設(shè)的外接圓的圓心為M,作MNCBN,由三角形中位線定理得出MN=BE,設(shè)BP=x,則CP=4-x,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出BE=x-x2=-x-22+1,由二次函數(shù)的最大值求出BE的最大值為1,得出MN的最大值=即可.

解:(1)∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形,
∴∠C=B=EPG=90°,PFEG,CD=BC=4,∠OEP=45°,
∴∠BEP+BPE=90°,∠DPC+BPE=90°,
∴∠BEP=DPC,
CDP∽△BPE

,即

BE=

2)①證明:如圖,
PE的中點(diǎn)Q,連接BQ,OQ,

∵∠POE=90°,
OQ=PE,
∵△BPE是直角三角形,
∴點(diǎn)QRtBPE外接圓的圓心,
BQ=PE,
OQ=BQ,
∴點(diǎn)O一定在APE的外接圓上;(到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)必在此圓上)
②解:連接OB、BD,如圖所示:

∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠DBC=45°,
BD==4,
B、P、O、E四點(diǎn)共圓,
∴∠OBP=OEP=45°,
∴點(diǎn)OBD上,
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),OBD的中點(diǎn),OB=BD=2,
即點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長為2
3)解:設(shè)BPE的外接圓的圓心為M,作MNBCN,如圖:

MNBE,
ME=MP
BN=PN,
MN=BE,
設(shè)BP=x,則PC=4-x,
由(1)得:CDP∽△BPE,
,即,
解得:BE=x-x2=-x-22+1

x=2時(shí),BE的最大值為1,此時(shí)MN的值最大=
APE的圓心到BC邊的距離的最大值為

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(1)若屏幕上下寬BC=20cm,科學(xué)使用電腦時(shí),求眼睛與屏幕的最短距離AB的長;

(2)若肩膀到水平地面的距離DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在鍵盤上,其到地面的距離FH=72cm.請判斷此時(shí)β是否符合科學(xué)要求的100°?

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1 2

1)補(bǔ)全如圖1所示的統(tǒng)計(jì)圖;

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