【題目】定義:有兩條邊長(zhǎng)的比值為 的直角三角形叫“潛力三角形”.如圖,在△ABC中,∠B=90°,D是AB的中點(diǎn),E是CD的中點(diǎn),DF∥AE交BC于點(diǎn)F.

(1)設(shè)“潛力三角形”較短直角邊長(zhǎng)為a,斜邊長(zhǎng)為c,請(qǐng)你直接寫出 的值為;
(2)若∠AED=∠DCB,求證:△BDF是“潛力三角形”;
(3)若△BDF是“潛力三角形”,且BF=1,求線段AC的長(zhǎng).

【答案】
(1)2或
(2)

解:證明:延長(zhǎng)AE交BC于G,如圖所示:

∵DF∥AE,D是AB的中點(diǎn),

∴∠AED=∠CDF,BF=GF,

∵∠AED=∠DCB,

∴∠CDF=∠DCB,

∴DF=CF,

∵DF∥AE,E是CD的中點(diǎn),

∴CG=GF,

∴BF=GF=CG,

∴DF=CF=2GF=2BF,

= ,

又∵∠B=90°,

∴△BDF是“潛力三角形”;


(3)

解:分四種情況:

①當(dāng) = 時(shí),

∵BF=1,

∴GF=CG=BF=1,BD=2,

∴AB=2BD=4,BC=3,

∴AC= = =5;

②當(dāng) = 時(shí),DF=2BF=2,

∴BD= = =

∴AB=2BD=2 ,

∵BC=3,∠B=90°,

∴AC= = =

③當(dāng) = 時(shí),BD= BF= ,

∴AB=2BD=1,

∵BC=3,∠B=90°,

∴AC= = = ;

④當(dāng) = 時(shí),

設(shè)BD=x,則DF=2x,

由勾股定理得:(2x)2﹣x2=12,

解得:x= ,

∴AB=2BD= ,

∵BC=3,∠B=90°,

∴AC= = = ;

綜上所述:若△BDF是“潛力三角形”,且BF=1,線段AC的長(zhǎng)為5或


【解析】(1)解:分兩種情況:
①當(dāng) = 時(shí), =2;
②設(shè)另一條直角邊長(zhǎng)為b,當(dāng) = 時(shí),b=2a,
∵∠B=90°,
∴c= = a,
= ;
所以答案是:2或 ;
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用三角形的“三線”,掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,是三角形內(nèi)切圓的圓心,稱為內(nèi)心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,是三角形的幾何中心,稱為中心);3、三角形的高線是頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離;注意:三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)即可以解答此題.

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與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的偏差(kg)

1.5

1

0.5

0

0.5

1

2

袋數(shù)()

40

30

10

25

40

20

35

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(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí),求證:BF=EF;

(3)若AB=,設(shè)BP=2,求QF的長(zhǎng).

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