Question

9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B是拋物線y=ax²（a＞0）上兩個不同的點(diǎn)，其中A在第二象限，B在第一象限．
（1）如圖1所示，當(dāng)直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時(shí)，求此拋物線的解析式和A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積；
（2）如圖2所示，在（1）所求得的拋物線上，當(dāng)直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°時(shí)，求證：A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積是一個定值；
（3）在（2）的條件下，如果直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)P、D，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$．那么在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△QDP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△AOB是等腰直角三角形，求出BE=OE=$\frac{1}{2}$AB=1即可；
（2）先判斷出△AMO∽△ONB，然后得到AM×BN=OM×ON，設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代換即可；
（3）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，分三種情況解方程即可．

解答 解：（1）如圖1，

作BE⊥x軸，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴BE=OE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴A（-1，1），B（1，1），
∴A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積為-1×1=-1，
∵拋物線y=ax²（a＞0）過A，B，
∴a=1，
∴拋物線y=x²，
（2）如圖2，

作BN⊥x軸，作AM⊥x軸，
∴∠AOB=AMO=∠BNO=90°，
∴∠MAO=∠BON，
∴△AMO∽△ONB，
∴$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
∴AM×BN=OM×ON，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線上，
∴AM=y₁=x₁²，BN=y₂=x₂²，OM=-x₁，ON=x₂，
∴x₁²×x₂²=-x₁×x₂，
∴x₁×x₂=-1，
∴A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積是一個定值；
（3）由（2）得，A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積是一個定值為-1，
∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2，
∵A，B在拋物線上，
∴A（-2，4），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∴直線AB解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+1，
∴P（$\frac{2}{3}$，0），D（0，1）
設(shè)Q（n，0），
∴DP²=$\frac{13}{9}$，PQ²=（n-$\frac{2}{3}$）²，DQ²=n²+1
∵△QDP為等腰三角形，
∴①DP=PQ，
∴DP²=PQ²，
∴$\frac{13}{9}$=（n-$\frac{2}{3}$）²，
∴n=$\frac{2±\sqrt{13}}{3}$，
∴Q₁（$\frac{2+\sqrt{13}}{3}$，0），Q₂（$\frac{2-\sqrt{13}}{3}$，0）
②DP=DQ，
∴DP²=DQ²，
∴$\frac{13}{9}$=n²+1，
∴n=$\frac{2}{3}$（舍）或n=-$\frac{2}{3}$，
Q₃（-$\frac{2}{3}$，0）
③PQ=DQ，
∴PQ²=DQ²，
∴（n-$\frac{2}{3}$）²=n²+1
∴n=-$\frac{5}{12}$，
∴Q4（-$\frac{5}{12}$，0），
∴存在點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q₁（$\frac{2+\sqrt{13}}{3}$，0），Q₂（$\frac{2-\sqrt{13}}{3}$，0），Q₃（-$\frac{2}{3}$，0），Q4（-$\frac{5}{12}$，0），

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用相似三角形的性質(zhì)得到等積式．