Question

在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=3.6cm（如圖1）．動點P，Q同時從點B出發(fā)，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，兩點運動時的速度都是1cm/s，而當(dāng)點P到達(dá)點A時，點Q正好到達(dá)點C．設(shè)P，Q同時從點B出發(fā)，經(jīng)過的時間為t（s）時，△BPQ的面積為y（cm²）（如圖2）．分別以t，y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點P在AD邊上從A到D運動時，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN．

（1）分別求出梯形中BA，AD的長度；
（2）分別寫出點P在BA邊上和DC邊上運動時，y與t的函數(shù)關(guān)系式（注明自變量的取值范圍），并在圖3中補全整個運動中y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象．
（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將梯形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由于點P在AD運動時，點Q在C點，利用函數(shù)圖象和三角形面積公式得到

1

2

×BC×3.6=10.8，解得BC=6，而當(dāng)點P到達(dá)點A時，點Q正好到達(dá)點C，所以AB=BC=6，作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，利用勾股計算出BH，則可求出CH的長，即可得出AD的長度．
（2）分類討論：①當(dāng)點P在BA上時，根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)=

3

10

t²②當(dāng)點P在DC上時，y=-3t+32.4．
（3）分類討論：當(dāng)0≤t≤6，利用S_△BPQ=

1

6

S_梯形ABCD及S_△BPQ=

5

6

S_梯形ABCD，求出時間t

解答：解：（1）點P在AD邊上從A到D運動時，點Q在C點，
根據(jù)函數(shù)圖象得到S_△PBQ=

1

2

•BC•CD=10.8，
∴

1

2

×BC×3.6=10.8，
∴BC=6，
∵當(dāng)點P到達(dá)點A時，點Q正好到達(dá)點C，
∴AB=BC=6，
如圖1，作AH⊥BC于H，

在Rt△ABH中，AB=6，AH=CD=3.6，BH=

AB2-AH2

=

62-3．62

=4.8，
∴CH=BC-BH=6-4.8=1.2，
∴AD=1.2，
即BA，AD的長度分別為6cm，1.2cm；
（2）①當(dāng)點P在BA上時，y=

1

2

•t•t•sinB=

1

2

•t²•

3.6

6

=

3

10

t²（0≤t≤6）；
②當(dāng)點P在DC上時，y=

1

2

×6×（6+1.2+3.6-t）=-3t+32.4（7.2≤t≤10.8）；
如圖3補全整個運動中y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象；

（3）存在．
當(dāng)0≤t≤6，
若S_△BPQ=

1

6

S_梯形ABCD，則

3

10

t²=

1

6

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

6 5

5

，
若S_△BPQ=

5

6

S_梯形ABCD，則

3

10

t²=

5

6

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=6，
所以t的值為

6 5

5

或6．

點評：本題考查了四邊形的綜合題，涉及梯形的性質(zhì)，二次函數(shù)及一次函數(shù)的知識，能夠正確的理解分段函數(shù)的意義是解答此題的關(guān)鍵．