Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D． 把三角形沿AE對(duì)折使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)F上，CD與折痕AE相交于G，連結(jié)FG并延長交AC于H．
（1）判斷FH與BC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）判斷HG與DG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）連接EF，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得∠CAE=∠EAF，∠AFE=90°，CE=EF，根據(jù)垂直的定義可得∠ADC=90°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行判斷出EF∥CD，然后根據(jù)等角的余角相等求出∠AGD=∠AEC，再求出∠CGE=∠AEC，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CG=CE，然后求出CG=EF，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形CEFG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行可得GF∥CE，即FH∥BC；
（2）根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AHG=∠ACB=90°，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得HG=DG．

解答：（1）解：如圖，連接EF，
由翻折的性質(zhì)得，∠CAE=∠EAF，∠AFE=∠ACB=90°，CE=EF，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠AFE，
∴EF∥CD，
∵∠CAE=∠EAF，∠CAE+∠AEC=∠EAF+∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠AEC，
又∵∠AGD=∠CGE（對(duì)頂角相等），
∴∠CGE=∠AEC，
∴CE=CG，
∴CG=EF，
∴四邊形CEFG是平行四邊形，
∴GF∥CE，
即FH∥BC；

（2）解：∵FH∥BC，
∴∠AHG=∠ACB=90°，
又∵∠CAE=∠EAF，
∴HG=DG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，主要利用了等角對(duì)等邊的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出四邊形CEFG是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．