Question

7．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為E，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段OE′，已知OE=12，sin∠BAC=$\frac{12}{13}$．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)F為射線ED上任意一點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)E重合）時(shí)，連接OF，將線段OF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OF′．試判斷直線E′F′與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；
（3）在（2）的條件下，設(shè)EF=x，S_△AEF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形得到∠OCE=∠BAC，利用三角函數(shù)即可；
（2）由△EOF≌△E′OF′，得到∠F′E′O=∠OEF=90°，從而判斷出垂直；
（3）分三種情況討論（a）當(dāng)點(diǎn)F在線段EG上時(shí)，可得y=$\frac{1}{2}$x（12-x）=-$\frac{1}{2}$x²+6x，x的取值范圍為0＜x＜12．（b）當(dāng)點(diǎn)F在EG的延長(zhǎng)線上時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x（x-12）=$\frac{1}{2}$x²-6x，x的取值范圍為x＞12．（c）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)G重合時(shí)，△E′FF′不存在．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AC=2OC，
∴∠OCE=∠BAC，
∴sin∠OCE=sin∠BAC=$\frac{12}{13}$．
在Rt△OCE中，
∵OE=12，
∴OC=13．
∴AC=2OC=26；
（2）垂直；
證明：∠EOF=∠E′OF′．
又∵OE=OE′，OF=OF′，
∴△EOF≌△E′OF′，
∴∠F′E′O=∠OEF=90°，
∴E′F′所在的直線與OE平行，
∴直線E′F′與直線CD的位置關(guān)系是垂直．
（3）設(shè)直線E′F′
與直線CD的交點(diǎn)為G．易得四邊形OEGE′是正方形，
∴EG=12．
（a）當(dāng)點(diǎn)F在線段EG上時(shí)，
可得y=$\frac{1}{2}$x（12-x）=-$\frac{1}{2}$x²+6x，x的取值范圍為0＜x＜12．
（b）當(dāng)點(diǎn)F在EG的延長(zhǎng)線上時(shí)，
y=$\frac{1}{2}$x（x-12）=$\frac{1}{2}$x²-6x，x
的取值范圍為x＞12．
（c）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)G重合時(shí)，△E′FF′不存在．
綜上所述：y與x的函數(shù)關(guān)系式為
y=-$\frac{1}{2}$x²+6x（0＜x＜12）和y=$\frac{1}{2}$x²-6x（x＞12）．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換的綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)中的動(dòng)點(diǎn)問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．