Question

11．如圖，四邊形ABCD是正方形，點F是BC的中點，F(xiàn)G⊥AF，點E在BC的延長線上，CG平分∠DCE，交FG于點G，AB=4，求CG．

Answer 1

分析 選取AB的中點H，連接FH，證明△AHF≌△FCG，所以HF=CG，利用勾股定理即可求出CG的長度

解答 解：選取AB的中點H，連接FH，
∵FG⊥AF，
∴∠AFG=90°，
∴∠HAF+∠AFB=∠AFB+∠GFC=90°，
∴∠HAF=∠GFC，
∵AH=HB=BF=FC，
∴∠BHF=45°，
∴∠AHF=135°，
∵CG平分∠DCE，
∴∠FCG=135°，
在△AFH與△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAF=∠GFC}\\{AH=FC}\\{∠AHF=∠FCG}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△FCG（ASA），
∴HF=CG，
∵AB=4，
∴BH=BF=2，
∴由勾股定理可得：HF=2$\sqrt{2}$，
∴CG=HF=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)，涉及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，綜合程度較高．