Question

2．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD=90°，$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，若AE=3，DE=$\sqrt{3}$，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

分析 作BF⊥CE于F，首先證得Rt△BCF≌Rt△CDE，從而判定四邊形ABFE是矩形，然后利用銳角三角函數(shù)在Rt△CDE中求得∠D=60°，從而確定答案．

解答 解：作BF⊥CE于F，
∵∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90°，
∴∠BCF=∠D．
又BC=CD，
∴Rt△BCF≌Rt△CDE．
∴BF=CE．
又∵∠BFE=∠AEF=∠A=90°，
∴四邊形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∴AE=CE=3，
在Rt△CDE中
∵$tanD=\frac{CE}{DE}=\sqrt{3}$
∴∠D=60°
∵∠ABC+∠D=180°
∴∠ABC=120°．

點(diǎn)評 本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．