Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，直角邊的長(zhǎng)為2，把點(diǎn)A沿MN折疊，點(diǎn)A恰好與BC邊的中點(diǎn)D重合，則重疊部分即△MND的面積=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專(zhuān)題：

分析：設(shè)AD與MN交于點(diǎn)P，作DE⊥AB于E．先在等腰直角三角形△ABC中，利用勾股定理求出AB=2

2

，根據(jù)折疊的性質(zhì)及已知條件得到MN垂直平分AD，△AMN≌△DMN，CD=BD=1，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD=

AC2+CD2

=

5

，于是AP=DP=

5

2

．再證明△APM∽△ACD，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出PM=

5

4

，由△BED為等腰直角三角形，得出BE=DE=

2

2

BD=

2

2

，則AE=AB-BE=

3 2

2

，由△APN∽△AED，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出PN=

5

6

，于是MN=PM+PN=

5 5

12

，然后根據(jù)△MND的面積=

1

2

MN•DP，代入數(shù)值計(jì)算即可求解．

解答：解：如圖，設(shè)AD與MN交于點(diǎn)P，作DE⊥AB于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，
∴AB=2

2

．
∵把點(diǎn)A沿MN折疊，點(diǎn)A恰好與BC邊的中點(diǎn)D重合，
∴MN垂直平分AD，△AMN≌△DMN，CD=BD=1．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，AC=2，CD=1，
∴AD=

AC2+CD2

=

5

，
∴AP=DP=

5

2

．
 在△APM與△ACD中，

∠PAM=∠CAD ∠APM=∠C=90°

，
∴△APM∽△ACD，
∴

PM

CD

=

AP

AC

，即

PM

1

=

5 2

2

，
解得PM=

5

4

．
在Rt△BED中，∵∠BED=90°，∠B=45°，
∴△BED為等腰直角三角形，
∴BE=DE=

2

2

BD=

2

2

，
∴AE=AB-BE=2

2

-

2

2

=

3 2

2

．
在△APN與△AED中，

∠PAN=∠EAD ∠APN=∠AED=90°

，
∴△APN∽△AED，
∴

PN

ED

=

AP

AE

，即

PN

2 2

=

5 2

3 2 2

，
解得PN=

5

6

，
∴MN=PM+PN=

5

4

+

5

6

=

5 5

12

，
∴△MND的面積=

1

2

MN•DP=

1

2

×

5 5

12

×

5

2

=

25

48

．
故答案為

25

48

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線，求出PM與PN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．