Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△COD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為△CED．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）連接AE，交CD于點(diǎn)M，連接OM，取OM的中點(diǎn)F，連接EF．

①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②若∠ACD=30°，請(qǐng)用等式表示線段CM、DE、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②DE2+CM2=4EF2．證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．

（2）①根據(jù)要求圖形即可．

②線段CM、DE、EF之間的數(shù)量關(guān)系是：DE2+CM2=4EF2．取CM的中點(diǎn)P，連接PF，PE，OE，首先證明四邊形AOED是菱形，推出PM是△OCD的中位線，再根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC與BD相等且互相平分，

∴OC=OD，

∵△COD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為△CED，

∴OD=ED，EC=OC，

∴OD=ED=EC=OC，

∴四邊形OCED是菱形．

（2）①如圖．

②線段CM、DE、EF之間的數(shù)量關(guān)系是：DE2+CM2=4EF2．

證明：取CM的中點(diǎn)P，連接PF，PE，OE，

∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADC=90°

∵∠ACD=30°，

∴∠OAD=∠ADC-∠ACD=60°

∵AO=OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴AD=AO，

∵四邊形OCED是菱形，

∴DE=OC，∠OCD=∠ECD=30°，OD∥EC，

∴四邊形AOED是菱形，

∴AE⊥OD，

∴EN⊥CE，即∠NEC=90°，

∵PM是△OCD的中位線，

∴PF=OC，PF∥OC，

∴∠OCD=∠FPM=30°，

∵P是CM的中點(diǎn)，

∴PE=PC=MC，

∴∠PCE=∠PEC=30°，

∴∠EPM=30°，

∴∠FPE=∠EPM+∠FPM=90°，

根據(jù)勾股定理得：PE2+PF2=EF2，

即：（CM）2+（OC）2=EF2，

∴DE2+CM2=4EF2．