【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與軸交于,兩點(點在點的左側(cè)),經(jīng)過點的直線與軸交于點,與拋物線的另一個交點為,且.
直接寫出點的坐標,并求直線的函數(shù)表達式(其中,用含的式子表示);
點是直線上方的拋物線上的一點,若的面積的最大值為,求的值;
設是拋物線對稱軸上的一點,點在拋物線上,以點,,,為頂點的四邊形能否成為矩形?若能,求出點的坐標;若不能,請說明理由.
【答案】(1)A(﹣1,0),;(2)a=﹣;(3)點的坐標為,.
【解析】
(1)解方程即可得到結(jié)論;根據(jù)直線l:y=kx+b過A(﹣1,0),得到直線l:y=kx+k,解方程得到點D的橫坐標為4,求得k=a,得到直線l的函數(shù)表達式為y=ax+a;
(2)過E作EF∥y軸交直線l于F,設E(x,ax2﹣2ax﹣3a),得到F(x,ax+a),求出EF=ax2﹣3ax﹣4a,根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論;
(3)令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,得到D(4,5a),設P(1,m),①若AD是矩形ADPQ的一條邊,②若AD是矩形APDQ的對角線,列方程即可得到結(jié)論.
(1)當y=0時,ax2﹣2ax﹣3a=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴A(﹣1,0),B(3,0).
∵直線l:y=kx+b過A(﹣1,0),∴0=﹣k+b,即k=b,∴直線l:y=kx+k.
∵拋物線與直線l交于點A,D,∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k,即ax2﹣(2a+k)x﹣3a﹣k=0.
∵CD=4AC,∴點D的橫坐標為4,∴﹣3﹣=﹣1×4,∴k=a,∴直線l的函數(shù)表達式為y=ax+a;
(2)過E作EF∥y軸交直線l于F,設E(x,ax2﹣2ax﹣3a),則F(x,ax+a),EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a,∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)﹣(ax2﹣3ax﹣4a)x=(ax2﹣3ax﹣4a)=a(x﹣)2﹣a,∴△ACE的面積的最大值=﹣a.
∵△ACE的面積的最大值為,∴﹣a=,解得:a=﹣;
(3)以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形,令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,解得:x1=﹣1,x2=4,∴D(4,5a).
∵拋物線的對稱軸為直線x=1,設P(1,m),∴分兩種情況討論:
①若AD是矩形ADPQ的一條邊,則易得Q(﹣4,21a),m=21a+5a=26a,則P(1,26a).
∵四邊形ADPQ是矩形,∴∠ADP=90°,∴AD2+PD2=AP2,∴52+(5a)2+32+(26a﹣5a)2=22+(26a)2,即a2=.
∵a<0,∴a=,∴P(1,);
②若AD是矩形APDQ的對角線,則易得Q(2,﹣3a),m=5a﹣(﹣3a)=8a,則P(1,8a).
∵四邊形APDQ是矩形,∴∠APD=90°,∴AP2+PD2=AD2,∴(﹣1﹣1)2+(8a)2+(1﹣4)2+(8a﹣5a)2=52+(5a)2,即a2=.
∵a<0,∴a=﹣,∴P(1,﹣4).
綜上所述:點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形,點P(1,﹣)或(1,﹣4).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,分別是,上的動點,將沿折疊.
(1)當點與點重合時,如圖1.若,,則的周長為_____.
(2)定義:若在三角形中,期中一條邊是另一條邊的2倍,則稱這個三角形為“倍邊三角形”.當點與點重合時,如圖2.若,則是倍邊三角形嗎?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,將AB邊沿AD折疊,發(fā)現(xiàn)B點的對應點E正好在AC的垂直平分線上,則∠C=_______
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖 1 所示放置,圖 2 是由它抽像出的幾何圖形,B, C, E在同一 條直線上,連結(jié)DC.
(1)請找出圖 2 中的全等三角形,并給予證明(說明:結(jié)論中不得含有未標識的字 母);
(2)證明:DC ⊥ BE.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù).圖象的頂點為,其圖象與軸的交點、的橫坐標分別為、,與軸負半軸交于點.下面五個結(jié)論:①;②;③當時,隨值的增大而增大;④當時,;⑤只有當時,是等腰直角三角形.那么,其中正確的結(jié)論______.(只填你認為正確結(jié)論的序號)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在 Rt 中,, ,點 為射線 上一點,連接 ,過點 作線段 的垂線 ,在直線 上,分別在點 的兩側(cè)截取與線段 相等的線段 和 ,連接 ,.
(1)當點 在線段 上時(點 不與點 , 重合),如圖1,
①請你將圖形補充完整;
②線段 , 所在直線的位置關(guān)系為 ,線段 , 的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)當點 在線段 的延長線上時,如圖2,
①請你將圖形補充完整;
②在(1)中②問的結(jié)論是否仍然成立?如果成立請進行證明,如果不成立,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:對于任何數(shù)a,符號[a]表示不大于a的最大整數(shù).
例如:[5.7]=5,[5]=5,[﹣1.5]=﹣2.
(1)[﹣]= ;
(2)如果[a]=3,那么a的取值范圍是 ;
(3)如果[]=﹣3,求滿足條件的所有整數(shù)x.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(閱讀)如圖1,四邊形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,
∠AOC=∠BCO=90°,經(jīng)過點O的直線l將四邊形分成兩部分,直線l與OC所成的角設為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點C落在點D處,我們把這個操作過程記為FZ[θ,a].
(理解)
若點D與點A重合,則這個操作過程為FZ[45°,3];
(嘗試)
(1)若點D恰為AB的中點(如圖2),求θ;
(2)經(jīng)過FZ[45°,a]操作,點B落在點E處,若點E在四邊形OABC的邊AB上,求出a的值;若點E落在四邊形OABC的外部,直接寫出a的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com