Question

8．已知直線y=kx+m（k＜0）與拋物線y=x²+bx+c相交于拋物線的頂點P和另一點Q，點P在第四象限．
（1）若點P（2，-c），點Q的橫坐標為1，求點Q的坐標；
（2）過點Q作x軸的平行線與拋物線y=x²+bx+c的對稱軸交于點E，直線PQ與y軸交于點M，若EQ=PE，c=$\frac{^{2}}{4}-2$（b＜-5），求△OMQ的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸公式求出b，再將P代入拋物線得到c，求出拋物線解析式，根據(jù)Q點的橫坐標即可解決問題．
（2）由題意可以假設(shè)直線PQ為y=-x+b′，利用方程組求出點Q坐標，求出S的表達式，根據(jù)函數(shù)增減性解決即可．

解答 解：（1）由題意：-$\frac{2}$=2，
∴b=-4，∴拋物線為y=x²-4x+c，將P（2，-c）代入得到，-c=4-8+c，
∴c=2，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+2，
∵點Q橫坐標為1，
∴點Q坐標為（1，-1）．
（2）由題意可以假設(shè)直線PQ為y=-x+b′，
∵頂點P（-$\frac{2}$，-2），代入上式得到：-2=$\frac{2}$+b′，
∴b′=-2-$\frac{2}$，
∴直線PQ為y=-x-2-$\frac{2}$，∴點M坐標（0，-2-$\frac{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2-\frac{2}}\\{y={x}^{2}+bx+\frac{^{2}}{4}-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴點Q坐標（-$\frac{2}$-1，-1），
∴S_△OQM=$\frac{1}{2}$$•（-2-\frac{2}）•（-\frac{2}-1）$=$\frac{1}{8}$b²+$\frac{3}{4}$b+1=$\frac{1}{8}$（b+3）²-$\frac{1}{8}$，
∵b＜-5，b=-5時，S=$\frac{3}{8}$，
根據(jù)函數(shù)的增減性可知，S_△OQM＞$\frac{3}{8}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法，解題的關(guān)鍵是靈活運用待定系數(shù)法解決問題，學會利用方程組求交點坐標，題目比較難，屬于中考壓軸題．